ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 7 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Постройте график функции \( f(x) = x^2 + 6x + 8 \). Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

3) множество решений неравенства: а) \( f(x) > 0 \); б) \( f(x) < 0 \);

4) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: а) \([-4; 0]\); б) \([1; 3]\).

2. Изобразите схематически график квадратичной функции \( y = ax^2 + bx + c \), если \( a < 0 \), \( D > 0 \), \( -\frac{b}{2a} > 0 \).

3. При каких значениях параметра \( a \) произведение корней уравнения \( x^2 — 2ax + a^2 — 20 + 4 = 0 \) принимает наименьшее значение?

1. Функция \( f(x) = x^2 + 6x + 8 \).

Вершина: \( x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3 \), \( y_0 = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = -1 \).

Корни: \( x^2 + 6x + 8 = 0 \), дискриминант \( D = 36 — 32 = 4 \), корни \( x_1 = -4 \), \( x_2 = -2 \).

1) Область значений: \( [-1; +\infty) \).

2) Промежутки: убывает на \( (-\infty; -3] \), возрастает на \( [-3; +\infty) \).

3а) \( f(x) > 0 \) при \( x \in (-\infty; -4) \cup (-2; +\infty) \).

3б) \( f(x) < 0 \) при \( x \in (-4; -2) \).

4а) На промежутке \( [-4; 0] \): \( f(-4) = 0 \), \( f(0) = 8 \), минимум \( f(-3) = -1 \). Значит \( y_{\max} = 8 \), \( y_{\min} = -1 \).

4б) На промежутке \( [1; 3] \): \( f(1) = 15 \), \( f(3) = 35 \), функция возрастает, значит \( y_{\min} = 15 \), \( y_{\max} = 35 \).

2. При \( a < 0 \), \( D > 0 \), \( -\frac{b}{2a} > 0 \), \( c > 0 \) парабола направлена вниз, вершина справа от оси \( y \), пересекает ось \( y \) выше нуля.

3. Уравнение: \( x^2 — 2ax + a^2 — 16 = 0 \).

Произведение корней: \( x_1 x_2 = a^2 — 16 \).

Минимум при \( a = 0 \), тогда \( x_1 x_2 = -16 \).

1. Функция \( f(x) = x^2 + 6x + 8 \).

Вершина параболы находится по формуле \( x_0 = -\frac{b}{2a} \). Здесь \( a = 1 \), \( b = 6 \), значит \( x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3 \). Подставим \( x_0 \) в функцию, чтобы найти значение вершины: \( y_0 = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 8 = 9 — 18 + 8 = -1 \).

Корни уравнения находим по формуле квадратного уравнения. Дискриминант \( D = b^2 — 4ac = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4 \). Корни: \( x_1 = \frac{-6 — 2}{2} = -4 \), \( x_2 = \frac{-6 + 2}{2} = -2 \).

1) Область значений функции — это все значения \( y \), которые принимает функция. Поскольку парабола направлена вверх (коэффициент при \( x^2 \) положительный), минимум функции достигается в вершине \( y_0 = -1 \). Значит, область значений \( E(f) = [-1; +\infty) \).

2) Функция убывает на промежутке \( (-\infty; -3] \) до вершины и возрастает на промежутке \( [-3; +\infty) \) после вершины.

3а) Рассмотрим неравенство \( f(x) > 0 \). Парабола выше оси \( x \) вне интервала между корнями, поэтому \( f(x) > 0 \) при \( x \in (-\infty; -4) \cup (-2; +\infty) \).

3б) Для \( f(x) < 0 \) функция принимает отрицательные значения между корнями. Значит, \( f(x) < 0 \) при \( x \in (-4; -2) \).

4а) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке \( [-4; 0] \). Вычислим значения в концах: \( f(-4) = (-4)^2 + 6 \cdot (-4) + 8 = 16 — 24 + 8 = 0 \), \( f(0) = 0 + 0 + 8 = 8 \). Минимум на промежутке — значение в вершине \( f(-3) = -1 \). Значит, \( y_{\max} = 8 \), \( y_{\min} = -1 \).

4б) На промежутке \( [1; 3] \) вычислим значения функции: \( f(1) = 1 + 6 + 8 = 15 \), \( f(3) = 9 + 18 + 8 = 35 \). Так как функция возрастает на этом промежутке, минимальное значение \( y_{\min} = 15 \), максимальное \( y_{\max} = 35 \).

2. Рассмотрим параболу \( y = ax^2 + bx + c \) при условиях: \( a < 0 \) (ветви вниз), \( D > 0 \) (два корня), \( -\frac{b}{2a} > 0 \) (вершина справа от оси \( y \)), \( c > 0 \) (пересечение с осью \( y \) выше нуля). График будет параболой, направленной вниз, с вершиной справа от оси \( y \), пересекающей ось \( y \) выше нуля.

3. Уравнение \( x^2 — 2ax + a^2 — 20 + 4 = 0 \) упростим до \( x^2 — 2ax + a^2 — 16 = 0 \).

Произведение корней равно свободному члену, то есть \( x_1 x_2 = a^2 — 16 \).

Функция произведения корней \( g(a) = a^2 — 16 \) имеет минимум при \( a = 0 \), тогда \( g(0) = -16 \).

Минимальное значение произведения корней равно \(-16\) при \( a = 0 \).