ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 7 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Постройте график функции \( f(x) = x^2 + 2x — 3 \). Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

3) множество решений неравенства: а) \( f(x) > 0 \); б) \( f(x) < 0 \);

4) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: а) \([-3; 4]\); б) \([1; 4]\).

2. Пусть \( D \) — дискриминант квадратного трёхчлена \( ax^2 + bx + c \). Изобразите схематически график квадратичной функции \( y = ax^2 + bx + c \), если \( a < 0 \), \( D > 0 \), \( -\frac{b}{2a} > 0 \).

3. При каких значениях параметра \( a \) произведение корней уравнения \( x^2 — 2ax + a^2 — 40 + 12 = 0 \) принимает наименьшее значение?

1) Область значений функции \( f(x) = x^2 + 2x — 3 \): минимум в вершине \( x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \), \( f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) — 3 = -4 \), значит область значений \( [-4; +\infty) \).

2) Промежуток убывания: \( (-\infty; -1) \), промежуток возрастания: \( (-1; +\infty) \).

3) Решения неравенств:
а) \( f(x) > 0 \) при \( x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty) \);
б) \( f(x) < 0 \) при \( x \in (-3; 1) \).

4) На промежутке \( [-3; 4] \):
\( f(-3) = 0 \), \( f(4) = 21 \), минимум \( f(-1) = -4 \), значит \( y_{\min} = -4 \), \( y_{\max} = 21 \).
На промежутке \( [1; 4] \):
\( f(1) = 0 \), \( f(4) = 21 \), значит \( y_{\min} = 0 \), \( y_{\max} = 21 \).

2) График функции \( y = ax^2 + bx + c \) при \( a < 0 \), \( D > 0 \), \( -\frac{b}{2a} > 0 \) — парабола с ветвями вниз, пересекает ось \( x \) в двух точках, вершина справа от нуля.

3) Уравнение \( x^2 — 2ax + a^2 — 28 = 0 \), произведение корней \( x_1 x_2 = a^2 — 28 \). Минимум при \( a = 0 \), тогда произведение корней равно \( 0^2 — 28 = -28 \). Ответ: 2.

1) Рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 + 2x — 3 \). Коэффициент при \( x^2 \) равен 1, он положительный, значит парабола направлена вверх. Найдем вершину параболы по формуле \( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \). Подставим \( x = -1 \) в функцию: \( f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) — 3 = 1 — 2 — 3 = -4 \). Минимальное значение функции равно -4. Значит область значений функции: \( [-4; +\infty) \).

2) Парабола убывает слева от вершины и возрастает справа. Значит функция убывает на промежутке \( (-\infty; -1) \) и возрастает на промежутке \( (-1; +\infty) \).

3) Решим неравенства. Найдем корни уравнения \( x^2 + 2x — 3 = 0 \). Дискриминант \( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \). Корни: \( x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \), \( x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \).
а) \( f(x) > 0 \) там, где парабола выше оси \( x \), то есть вне корней: \( (-\infty; -3) \cup (1; +\infty) \).
б) \( f(x) < 0 \) между корнями: \( (-3; 1) \).

4) На промежутке \( [-3; 4] \) вычислим значения функции на концах и в вершине.
\( f(-3) = (-3)^2 + 2(-3) — 3 = 9 — 6 — 3 = 0 \),
\( f(4) = 4^2 + 2 \cdot 4 — 3 = 16 + 8 — 3 = 21 \),
минимум на этом промежутке в вершине \( x = -1 \), \( f(-1) = -4 \).
Значит \( y_{\min} = -4 \), \( y_{\max} = 21 \).
На промежутке \( [1; 4] \) значения функции на концах:
\( f(1) = 1 + 2 — 3 = 0 \),
\( f(4) = 21 \),
минимум \( y_{\min} = 0 \), максимум \( y_{\max} = 21 \).

2) График функции \( y = ax^2 + bx + c \) при условиях \( a < 0 \), \( D > 0 \), \( -\frac{b}{2a} > 0 \). Поскольку \( a < 0 \), парабола направлена вниз. Дискриминант положительный, значит есть два корня, график пересекает ось \( x \) в двух точках. Вершина находится справа от нуля, так как \( -\frac{b}{2a} > 0 \).

3) Рассмотрим уравнение \( x^2 — 2ax + a^2 — 40 + 12 = 0 \). Упростим: \( x^2 — 2ax + (a^2 — 28) = 0 \). Произведение корней по формуле Виета равно свободному члену: \( x_1 x_2 = a^2 — 28 \). Чтобы найти минимальное значение произведения корней, рассмотрим функцию \( y = a^2 — 28 \). Минимум достигается при \( a = 0 \), тогда произведение корней равно \( 0^2 — 28 = -28 \). Ответ: 2.