ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 7 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Постройте график функции \( f(x) = x^2 + 4x — 5 \). Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

3) множество решений неравенства: а) \( f(x) > 0 \); б) \( f(x) < 0 \);

4) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: а) \([-5; 2]\); б) \([3; 5]\).

2. Изобразите схематически график квадратичной функции \( y = ax^2 + bx + c \), если \( a > 0 \), \( c < 0 \), \( -\frac{b}{2a} > 0 \).

3. При каких значениях параметра \( a \) произведение корней уравнения \( x^2 + 2ax + a^2 + 4a + 16 = 0 \) принимает наименьшее значение?

1. Функция \( f(x) = x^2 + 4x — 5 \).

Вершина: \( x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \), \( y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) — 5 = 4 — 8 — 5 = -9 \).

1) Область значений: \( E(y) = [-9; +\infty) \).

2) Промежутки монотонности: убывает на \( (-\infty; -2] \), возрастает на \( [-2; +\infty) \).

3) Решения неравенств:

а) \( f(x) > 0 \), корни уравнения: \( x_1 = -5, x_2 = 1 \), значит \( x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty) \).

б) \( f(x) < 0 \), \( x \in (-5; 1) \).

4) Значения на промежутках:

а) \( x \in [-5; 2] \), \( y_{max} = f(2) = 7 \), \( y_{min} = -9 \).

б) \( x \in [3; 5] \), \( y_{max} = f(5) = 40 \), \( y_{min} = f(3) = 16 \).

2. Функция \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a > 0 \), \( c < 0 \), \( -\frac{b}{2a} > 0 \).

Парабола направлена вверх, вершина справа от оси \( y \), пересекает ось \( y \) ниже нуля.

3. Уравнение \( x^2 + 2ax + a^2 + 4a + 16 = 0 \).

Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = a^2 + 4a + 16 \).

Наименьшее значение при \( a = -\frac{4}{2} = -2 \).

Ответ: \( -2 \).

1. Рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 + 4x — 5 \). Найдём вершину параболы, используя формулу \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = 4 \). Тогда \( x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \). Подставим это значение в функцию: \( y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) — 5 = 4 — 8 — 5 = -9 \). Вершина параболы находится в точке \( (-2; -9) \).

Область значений функции — все значения \( y \), которые принимает функция. Поскольку парабола направлена вверх (коэффициент при \( x^2 \) положительный), минимальное значение функции равно значению в вершине, то есть \( -9 \). Значит, область значений: \( [-9; +\infty) \).

2. Промежутки монотонности определяются знаком производной \( f'(x) = 2x + 4 \). Найдём, где производная равна нулю: \( 2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2 \). При \( x < -2 \), \( f'(x) < 0 \), значит функция убывает на промежутке \( (-\infty; -2] \). При \( x > -2 \), \( f'(x) > 0 \), значит функция возрастает на промежутке \( [-2; +\infty) \).

3. Решим неравенства с функцией.

а) \( f(x) > 0 \). Сначала найдём корни уравнения \( f(x) = 0 \): \( x^2 + 4x — 5 = 0 \). Дискриминант \( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \). Корни: \( x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5 \), \( x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \). Поскольку парабола направлена вверх, функция положительна вне корней, то есть на промежутках \( (-\infty; -5) \cup (1; +\infty) \).

б) \( f(x) < 0 \) на промежутке между корнями, то есть на \( (-5; 1) \).

4. Найдём значения функции на заданных промежутках.

а) На \( [-5; 2] \):

\( f(-5) = (-5)^2 + 4 \cdot (-5) — 5 = 25 — 20 — 5 = 0 \).

\( f(2) = 2^2 + 4 \cdot 2 — 5 = 4 + 8 — 5 = 7 \).

Минимальное значение на этом промежутке — значение в вершине \( -9 \) (при \( x = -2 \)), максимальное — \( 7 \) (при \( x = 2 \)).

б) На \( [3; 5] \):

\( f(3) = 3^2 + 4 \cdot 3 — 5 = 9 + 12 — 5 = 16 \).

\( f(5) = 5^2 + 4 \cdot 5 — 5 = 25 + 20 — 5 = 40 \).

Минимальное значение на этом промежутке — \( 16 \), максимальное — \( 40 \).

5. Рассмотрим функцию \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a > 0 \), \( c < 0 \), \( -\frac{b}{2a} > 0 \). Парабола направлена вверх, так как \( a > 0 \). Точка вершины имеет положительную абсциссу, так как \( -\frac{b}{2a} > 0 \). Пересечение с осью \( y \) находится в точке \( (0; c) \), где \( c < 0 \), то есть ниже оси \( x \).

6. Рассмотрим уравнение \( x^2 + 2ax + a^2 + 4a + 16 = 0 \). Произведение корней по теореме Виета равно свободному члену: \( x_1 \cdot x_2 = a^2 + 4a + 16 \).

7. Найдём минимальное значение выражения \( a^2 + 4a + 16 \). Это квадратный трёхчлен с \( a > 0 \). Найдём вершину параболы: \( a_0 = -\frac{4}{2} = -2 \). Подставим \( a_0 \) в выражение: \( (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 16 = 4 — 8 + 16 = 12 \).

Ответ: минимальное значение произведения корней равно 12 при \( a = -2 \).