Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мерзляка и В.М. Полякова — это учебное пособие, созданное в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и входящее в систему учебно-методических комплектов «Алгоритм успеха». Пособие предназначено для закрепления и проверки знаний, полученных на уроках алгебры, и способствует формированию у школьников устойчивых математических умений.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 8 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
1. Решите неравенство:
1) \( x^2 + 5x — 86 < 0 \);
2) \( 2x^2 — 3x + 4 > 0 \);
3) \( 9x^2 — 6x + 1 < 0 \).
2. Найдите область определения функции
\( y = \sqrt{x^2 — 2x — 35} + \frac{3x + 2}{\sqrt{27 — 8x}} \).
3. Решите неравенство \( |x^2 — 3| > x + 3 \).
4. При каких значениях параметра \( a \) неравенство \( ax^2 + 8x — a + 10 > 0 \) выполняется при всех действительных значениях \( x \)?
1) \(x^2 + 5x — 36 < 0\)
\(D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169\),
\(x_1 = \frac{-5 — 13}{2} = -9\), \(x_2 = \frac{-5 + 13}{2} = 4\),
Ответ: \((-9; 4)\).
2) \(2x^2 — 3x + 4 > 0\)
\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 — 32 = -23 < 0\),
Ответ: \((-\infty; +\infty)\).
3) \(9x^2 — 6x + 1 \leq 0\)
\((3x — 1)^2 \leq 0\),
\(3x — 1 = 0\), \(x = \frac{1}{3}\),
Ответ: \(\frac{1}{3}\).
\(y = \sqrt{x^2 — 2x — 35} + \frac{3x + 2}{\sqrt{27 — 8x}}\)
Область определения:
\(x^2 — 2x — 35 \geq 0\),
\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144\),
\(x_1 = \frac{2 — 12}{2} = -5\), \(x_2 = \frac{2 + 12}{2} = 7\),
\((x + 5)(x — 7) \geq 0\), значит \(x \leq -5\) или \(x \geq 7\),
\(27 — 8x > 0\), \(x < \frac{27}{8} = 3.375\),
Ответ: \((-\infty; -5] \cup [7; 3.375)\), но так как \(7 > 3.375\),
итог: \((-\infty; -5]\).
\(|x^2 — 3| > x + 3\)
Первое неравенство:
\(x^2 — 3 < -x — 3\),
\(x^2 + x < 0\),
\(x(x + 1) < 0\),
Ответ: \(-1 < x < 0\).
Второе неравенство:
\(x^2 — 3 > x + 3\),
\(x^2 — x — 6 > 0\),
\(D = 1 + 24 = 25\),
\(x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2\), \(x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3\),
\((x + 2)(x — 3) > 0\),
Ответ: \(x < -2\) или \(x > 3\).
Общий ответ: \((-\infty; -2) \cup (-1; 0) \cup (3; +\infty)\).
\(ax^2 + 8x — a + 10 > 0\) при всех \(x\)
\(D = 8^2 — 4a(-a + 10) < 0\),
\(64 + 4a^2 — 40a < 0\),
\(a^2 — 10a + 16 < 0\),
\(D = 100 — 64 = 36\),
\(a_1 = \frac{10 — 6}{2} = 2\), \(a_2 = \frac{10 + 6}{2} = 8\),
Ответ: \(2 < a < 8\).
1) Решаем неравенство \(x^2 + 5x — 36 < 0\). Сначала находим дискриминант: \(D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169\). Корни уравнения: \(x_1 = \frac{-5 — 13}{2} = -9\), \(x_2 = \frac{-5 + 13}{2} = 4\). Парабола направлена вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями. Ответ: \((-9; 4)\).
2) Решаем неравенство \(2x^2 — 3x + 4 > 0\). Находим дискриминант: \(D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 — 32 = -23\). Поскольку дискриминант отрицательный, парабола не пересекает ось \(x\) и направлена вверх (коэффициент при \(x^2\) положителен). Значит, неравенство верно для всех \(x\). Ответ: \((-\infty; +\infty)\).
3) Решаем неравенство \(9x^2 — 6x + 1 \leq 0\). Представим выражение как квадрат: \((3x — 1)^2 \leq 0\). Квадрат числа неотрицателен, равен нулю только при \(3x — 1 = 0\), то есть \(x = \frac{1}{3}\). Ответ: \(\frac{1}{3}\).
4) Находим область определения функции \(y = \sqrt{x^2 — 2x — 35} + \frac{3x + 2}{\sqrt{27 — 8x}}\). Подкоренное выражение первого корня должно быть неотрицательно: \(x^2 — 2x — 35 \geq 0\). Находим корни: \(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144\), \(x_1 = \frac{2 — 12}{2} = -5\), \(x_2 = \frac{2 + 12}{2} = 7\). Значит, \(x \leq -5\) или \(x \geq 7\). Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным: \(27 — 8x > 0\), значит \(x < \frac{27}{8} = 3.375\). Пересечение условий даёт \(x \leq -5\). Ответ: \((-\infty; -5]\).
5) Решаем неравенство \(|x^2 — 3| > x + 3\). Рассмотрим два случая.
Первый случай: \(x^2 — 3 \geq 0\), тогда \(|x^2 — 3| = x^2 — 3\). Неравенство становится \(x^2 — 3 > x + 3\), или \(x^2 — x — 6 > 0\). Находим корни квадратного уравнения: \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\), \(x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2\), \(x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3\). Неравенство выполняется при \(x < -2\) или \(x > 3\).
Второй случай: \(x^2 — 3 < 0\), тогда \(|x^2 — 3| = -(x^2 — 3) = 3 — x^2\). Неравенство становится \(3 — x^2 > x + 3\), или \(-x^2 — x > 0\), что эквивалентно \(x^2 + x < 0\). Факторизуем: \(x(x + 1) < 0\), значит \(-1 < x < 0\).
Объединяем оба решения: \((-\infty; -2) \cup (-1; 0) \cup (3; +\infty)\).
6) Решаем условие для параметра \(a\), чтобы неравенство \(ax^2 + 8x — a + 10 > 0\) выполнялось при всех \(x\). Для этого коэффициент при \(x^2\) должен быть положительным: \(a > 0\). Дискриминант должен быть отрицательным: \(D = 8^2 — 4a(-a + 10) < 0\), то есть \(64 + 4a^2 — 40a < 0\). Делим на 4: \(a^2 — 10a + 16 < 0\). Находим корни: \(D_a = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 — 64 = 36\), \(a_1 = \frac{10 — 6}{2} = 2\), \(a_2 = \frac{10 + 6}{2} = 8\). Неравенство выполняется при \(2 < a < 8\). Ответ: \(2 < a < 8\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.