ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 8 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Решите неравенство:

1) \( x^2 + 2x — 35 < 0 \);

2) \( -5x^2 + 2x — 1 > 0 \);

3) \( 4x^2 — 12x + 9 > 0 \).

2. Найдите область определения функции

\( y = \frac{4x — 6}{\sqrt{x^2 + 2x — 48}} + \sqrt{20 — 2x} \).

3. Решите неравенство \( |x^2 — 6| > x + 6 \).

4. При каких значениях параметра \( a \) неравенство \( ax^2 + 5ax + 4a + 3 < 0 \) не имеет решений?

1) \(x^2 + 2x — 35 < 0\);
\(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144\),
\(x_1 = \frac{-2 — 12}{2} = -7\), \(x_2 = \frac{-2 + 12}{2} = 5\),
\((x + 7)(x — 5) < 0\), тогда \(-7 < x < 5\),
Ответ: \((-7; 5)\).

2) \(-5x^2 + 2x — 1 > 0\),
перепишем: \(5x^2 — 2x + 1 < 0\),
\(D = 2^2 — 4 \cdot 5 \cdot 1 = 4 — 20 = -16 < 0\),
значит решений нет,
Ответ: решений нет.

3) \(4x^2 — 12x + 9 > 0\),
\( (2x — 3)^2 > 0\),
\(2x — 3 \neq 0\),
\(x \neq \frac{3}{2} = 1.5\),
Ответ: \((-\infty; 1.5) \cup (1.5; +\infty)\).

2. \(y = \frac{4x — 6}{\sqrt{x^2 + 2x — 48}} + \sqrt{20 — 2x}\),
область определения:
\(x^2 + 2x — 48 > 0\),
\(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196\),
\(x_1 = \frac{-2 — 14}{2} = -8\), \(x_2 = \frac{-2 + 14}{2} = 6\),
\((x+8)(x-6) > 0\), значит \(x < -8\) или \(x > 6\),
\(20 — 2x \geq 0\), \(x \leq 10\),
Ответ: \((-\infty; -8) \cup (6; 10]\).

3. \(|x^2 — 6| > x + 6\),
Первое неравенство:
\(x^2 — 6 < -(x + 6)\),
\(x^2 + x < 0\),
\(x(x + 1) < 0\),
\(-1 < x < 0\),
Второе неравенство:
\(x^2 — 6 > x + 6\),
\(x^2 — x — 12 > 0\),
\(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\),
\(x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4\),
\((x + 3)(x — 4) > 0\),
\(x < -3\) или \(x > 4\),
Ответ: \((-\infty; -3) \cup (-1; 0) \cup (4; +\infty)\).

4. \(ax^2 + 5ax + 4a + 3 < 0\),
Дискриминант:
\(D = (5a)^2 — 4 \cdot a \cdot (4a + 3) = 25a^2 — 16a^2 — 12a = 9a^2 — 12a\),
\(9a^2 — 12a \leq 0\),
\(3a(3a — 4) \leq 0\),
\(0 \leq a \leq \frac{4}{3}\),
Ответ: \([0; \frac{4}{3}]\).

1) Решаем неравенство \(x^2 + 2x — 35 < 0\). Сначала найдем дискриминант:
\(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144\).
Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{-2 — 12}{2} = -7\),
\(x_2 = \frac{-2 + 12}{2} = 5\).
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, неравенство будет выполнено между корнями:
\(-7 < x < 5\).
Ответ: \((-7; 5)\).

2) Рассмотрим неравенство \(-5x^2 + 2x — 1 > 0\). Перенесем все в левую часть с положительным коэффициентом при \(x^2\):
\(5x^2 — 2x + 1 < 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 1 = 4 — 20 = -16\).
Поскольку \(D < 0\) и коэффициент при \(x^2\) положительный, выражение \(5x^2 — 2x + 1\) всегда больше нуля, значит решений нет.
Ответ: \(\emptyset\).

3) Неравенство \(4x^2 — 12x + 9 > 0\) можно записать как квадрат:
\((2x — 3)^2 > 0\).
Квадрат числа больше нуля, если само число не равно нулю, значит:
\(2x — 3 \neq 0\),
\(x \neq \frac{3}{2} = 1.5\).
Ответ: \((-\infty; 1.5) \cup (1.5; +\infty)\).

2. Найдем область определения функции \(y = \frac{4x — 6}{\sqrt{x^2 + 2x — 48}} + \sqrt{20 — 2x}\).
Подкоренное выражение в знаменателе должно быть больше нуля:
\(x^2 + 2x — 48 > 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196\).
Корни:
\(x_1 = \frac{-2 — 14}{2} = -8\),
\(x_2 = \frac{-2 + 14}{2} = 6\).
Значит, \(x < -8\) или \(x > 6\).
Во втором корне подкоренного выражения должно быть неотрицательно:
\(20 — 2x \geq 0\),
\(x \leq 10\).
Объединяя условия, получаем:
\(x \in (-\infty; -8) \cup (6; 10]\).

3. Решим неравенство \(|x^2 — 6| > x + 6\).
Рассмотрим два случая.

Первый случай:
\(x^2 — 6 \geq 0\), тогда
\(|x^2 — 6| = x^2 — 6\).
Подставим в неравенство:
\(x^2 — 6 > x + 6\),
\(x^2 — x — 12 > 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\).
Корни:
\(x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3\),
\(x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4\).
Неравенство верно при:
\(x < -3\) или \(x > 4\).

Второй случай:
\(x^2 — 6 < 0\), тогда
\(|x^2 — 6| = -(x^2 — 6) = 6 — x^2\).
Подставим в неравенство:
\(6 — x^2 > x + 6\),
\(-x^2 — x > 0\),
\(x^2 + x < 0\).
Решаем:
\(x(x + 1) < 0\),
\(-1 < x < 0\).

Ответ: \((-\infty; -3) \cup (-1; 0) \cup (4; +\infty)\).

4. Рассмотрим неравенство \(ax^2 + 5ax + 4a + 3 < 0\).
Выпишем дискриминант:
\(D = (5a)^2 — 4 \cdot a \cdot (4a + 3) = 25a^2 — 16a^2 — 12a = 9a^2 — 12a\).
Условие отсутствия решений для неравенства — дискриминант не больше нуля:
\(9a^2 — 12a \leq 0\).
Вынесем общий множитель:
\(3a(3a — 4) \leq 0\).
Решаем неравенство:
\(0 \leq a \leq \frac{4}{3}\).
Ответ: \([0; \frac{4}{3}]\).