ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 8 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Решите неравенство:

1) \( -x^2 — x + 30 < 0 \);

2) \( 3x^2 + 2x + 4 > 0 \);

3) \( 16x^2 + 24x + 9 \leq 0 \).

2. Найдите область определения функции

\( y = \sqrt{x^2 — x — 30} + \frac{2x — 1}{\sqrt{36 — 4x}} \).

3. Решите неравенство \( |x^2 — 15| > x + 15 \).

4. При каких значениях параметра \( a \) неравенство \( ax^2 — 4x + a + 3 < 0 \) выполняется при всех действительных значениях \( x \)?

1) \(-x^2 — x + 30 < 0\)
Перепишем: \(x^2 + x — 30 > 0\)
Дискриминант: \(D = 1 + 120 = 121\)
Корни: \(x_1 = \frac{-1 — 11}{2} = -6\), \(x_2 = \frac{-1 + 11}{2} = 5\)
Ответ: \(x < -6\) или \(x > 5\)

2) \(3x^2 + 2x + 4 > 0\)
Дискриминант: \(D = 4 — 48 = -44 < 0\)
Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\)

3) \(16x^2 + 24x + 9 \leq 0\)
Распишем: \((4x + 3)^2 \leq 0\)
Решение: \(4x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{4}\)
Ответ: \(x = -\frac{3}{4}\)

Область определения функции \(y = \sqrt{x^2 — x — 30} + \frac{2x — 1}{\sqrt{36 — 4x}}\)
Подкоренное выражение под первым корнем: \(x^2 — x — 30 \geq 0\), дискриминант 121, корни \(-5\) и \(6\), значит \(x \leq -5\) или \(x \geq 6\)
Подкоренное выражение под вторым корнем: \(36 — 4x > 0 \Rightarrow x < 9\)
Ответ: \(x \in (-\infty; -5] \cup [6; 9)\)

Решить неравенство \(|x^2 — 15| > x + 15\)
Первое неравенство: \(x^2 — 15 < 0 \Rightarrow |x^2 — 15| = 15 — x^2\)
\(15 — x^2 > x + 15 \Rightarrow -x^2 — x > 0 \Rightarrow x(x+1) < 0 \Rightarrow -1 < x < 0\)
Второе неравенство: \(x^2 — 15 \geq 0 \Rightarrow |x^2 — 15| = x^2 — 15\)
\(x^2 — 15 > x + 15 \Rightarrow x^2 — x — 30 > 0\), дискриминант 121, корни \(-5\) и \(6\)
Ответ: \(x < -5\) или \(x > 6\)
Итоговый ответ: \((-\infty; -5) \cup (-1; 0) \cup (6; +\infty)\)

При каких \(a\) неравенство \(ax^2 — 4x + a + 3 < 0\) выполняется при всех \(x\)
Дискриминант: \(D = 16 — 4a(a+3) < 0\)
Раскроем: \(16 — 4a^2 — 12a < 0 \Rightarrow a^2 + 3a — 4 > 0\)
Дискриминант: 25, корни: \(-4\) и \(1\)
Парабола вверх, значит \(a < -4\) или \(a > 1\)
Условие \(a < 0\)
Ответ: \(a < -4\)

1) Рассмотрим неравенство \(-x^2 — x + 30 < 0\). Перенесём все влево и умножим на \(-1\), поменяв знак неравенства: \(x^2 + x — 30 > 0\). Найдём корни квадратного уравнения \(x^2 + x — 30 = 0\). Вычислим дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121\). Корни равны \(x_1 = \frac{-1 — 11}{2} = -6\) и \(x_2 = \frac{-1 + 11}{2} = 5\). Парабола направлена вверх, значит неравенство \(> 0\) выполняется при \(x < -6\) или \(x > 5\).

2) Рассмотрим неравенство \(3x^2 + 2x + 4 > 0\). Найдём дискриминант: \(D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 4 — 48 = -44 < 0\). Поскольку коэффициент при \(x^2\) положителен, парабола лежит выше оси \(x\) для всех \(x\). Значит неравенство выполняется при всех \(x\).

3) Рассмотрим неравенство \(16x^2 + 24x + 9 \leq 0\). Заметим, что \(16x^2 + 24x + 9 = (4x + 3)^2\). Квадрат выражения не может быть меньше нуля, поэтому неравенство выполняется только при \(4x + 3 = 0\), то есть при \(x = -\frac{3}{4}\).

4) Найдём область определения функции \(y = \sqrt{x^2 — x — 30} + \frac{2x — 1}{\sqrt{36 — 4x}}\). Подкоренное выражение первого корня должно быть неотрицательно: \(x^2 — x — 30 \geq 0\). Найдём корни уравнения \(x^2 — x — 30 = 0\). Дискриминант равен \(1 + 120 = 121\), корни: \(x = \frac{1 \pm 11}{2}\), то есть \(x = -5\) и \(x = 6\). Парабола направлена вверх, значит \(x \leq -5\) или \(x \geq 6\). Подкоренное выражение второго корня должно быть строго положительным, так как оно в знаменателе: \(36 — 4x > 0\), откуда \(x < 9\). Объединяя условия, получаем область определения: \(x \in (-\infty; -5] \cup [6; 9)\).

5) Решим неравенство \(|x^2 — 15| > x + 15\). Рассмотрим два случая.

Первый случай: \(x^2 — 15 < 0\), тогда \(|x^2 — 15| = 15 — x^2\). Неравенство примет вид: \(15 — x^2 > x + 15\), что равносильно \(-x^2 — x > 0\), или \(x^2 + x < 0\). Решаем: \(x(x + 1) < 0\), значит \(-1 < x < 0\).

Второй случай: \(x^2 — 15 \geq 0\), тогда \(|x^2 — 15| = x^2 — 15\). Неравенство: \(x^2 — 15 > x + 15\), или \(x^2 — x — 30 > 0\). Найдём корни уравнения \(x^2 — x — 30 = 0\). Дискриминант \(D = 1 + 120 = 121\), корни \(x = -5\) и \(x = 6\). Парабола направлена вверх, значит \(x < -5\) или \(x > 6\).

Объединяем решения: \(x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 0) \cup (6; +\infty)\).

6) При каких \(a\) неравенство \(ax^2 — 4x + a + 3 < 0\) выполняется при всех \(x\)? Для этого парабола должна быть направлена вниз, то есть \(a < 0\), и не иметь действительных корней, то есть дискриминант меньше нуля. Вычислим дискриминант: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot a \cdot (a + 3) = 16 — 4a^2 — 12a\). Условие: \(16 — 4a^2 — 12a < 0\). Переносим в другую сторону: \(4a^2 + 12a — 16 > 0\), делим на 4: \(a^2 + 3a — 4 > 0\). Найдём корни уравнения \(a^2 + 3a — 4 = 0\). Дискриминант равен \(9 + 16 = 25\), корни: \(a = \frac{-3 \pm 5}{2}\), то есть \(a = -4\) и \(a = 1\). Парабола направлена вверх, значит неравенство \(> 0\) выполняется при \(a < -4\) или \(a > 1\). Объединяем с условием \(a < 0\), получаем \(a < -4\).