ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 8 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Решите неравенство:

1) \( x^2 — 4x — 96 > 0 \);

2) \( -4x^2 + 3x — 5 > 0 \);

3) \( 49x^2 + 14x + 1 > 0 \).

2. Найдите область определения функции

\( y = \frac{5x — 4}{\sqrt{x^2 + x — 42}} + \sqrt{40 — 5x} \).

3. Решите неравенство \( |x^2 — 10| > x + 10 \).

4. При каких значениях параметра \( a \) неравенство \( ax^2 — 2ax + a — 9 > 0 \) не имеет решений?

1) \(x^2 — 4x — 96 > 0\)
\(D = 4^2 + 4 \cdot 96 = 16 + 384 = 400\),
\(x_1 = \frac{4 — 20}{2} = -8\),
\(x_2 = \frac{4 + 20}{2} = 12\),
\((x + 8)(x — 12) > 0\),
\(x < -8\) или \(x > 12\),
Ответ: \((- \infty; -8) \cup (12; + \infty)\).

2) \(-4x^2 + 3x — 5 > 0\)
Переписать: \(4x^2 — 3x + 5 < 0\),
\(D = 3^2 — 4 \cdot 4 \cdot 5 = 9 — 80 = -71 < 0\),
Решений нет,
Ответ: решений нет.

3) \(49x^2 + 14x + 1 > 0\)
\((7x + 1)^2 > 0\),
\(7x + 1 \neq 0\),
\(x \neq -\frac{1}{7}\),
Ответ: \((- \infty; -\frac{1}{7}) \cup (-\frac{1}{7}; + \infty)\).

2. Область определения
\(x^2 + x — 42 > 0\),
\(D = 1 + 168 = 169\),
\(x_1 = \frac{-1 — 13}{2} = -7\),
\(x_2 = \frac{-1 + 13}{2} = 6\),
\(x < -7\) или \(x > 6\),
\(40 — 5x \geq 0\),
\(x \leq 8\),
Ответ: \((- \infty; -7) \cup (6; 8]\).

3. \(|x^2 — 10| > x + 10\)
Первое неравенство:
\(x^2 — 10 < 0\),
\(x^2 + x < 0\),
\(-1 < x < 0\).
Второе неравенство:
\(x^2 — 10 > x + 10\),
\(x^2 — x — 20 > 0\),
\(D = 1 + 80 = 81\),
\(x_1 = \frac{1 — 9}{2} = -4\),
\(x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5\),
\(x < -4\) или \(x > 5\),
Ответ: \((- \infty; -4) \cup (-1; 0) \cup (5; + \infty)\).

4. \(ax^2 — 2ax + a — 9 > 0\)
\(D = (2a)^2 — 4 \cdot a \cdot (a — 9) = 4a^2 — 4a^2 + 36a = 36a \leq 0\),
\(a \leq 0\),
Ответ: \((- \infty; 0]\).

1) Решить неравенство \(x^2 — 4x — 96 > 0\).
Вычислим дискриминант: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400\).
Найдём корни уравнения: \(x_1 = \frac{4 — \sqrt{400}}{2} = \frac{4 — 20}{2} = -8\), \(x_2 = \frac{4 + \sqrt{400}}{2} = \frac{4 + 20}{2} = 12\).
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, неравенство \(x^2 — 4x — 96 > 0\) выполняется при \(x < -8\) или \(x > 12\).
Ответ: \((- \infty; -8) \cup (12; + \infty)\).

2) Решить неравенство \(-4x^2 + 3x — 5 > 0\).
Перепишем неравенство, умножив на \(-1\) и изменив знак: \(4x^2 — 3x + 5 < 0\).
Вычислим дискриминант: \(D = (-3)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 5 = 9 — 80 = -71\).
Так как дискриминант отрицательный, квадратное выражение всегда положительно, следовательно решений неравенства нет.
Ответ: решений нет.

3) Решить неравенство \(49x^2 + 14x + 1 > 0\).
Заметим, что \(49x^2 + 14x + 1 = (7x + 1)^2\).
Квадрат выражения всегда неотрицателен, равен нулю только при \(7x + 1 = 0\), то есть при \(x = -\frac{1}{7}\).
Требуется строгое неравенство, значит \(x \neq -\frac{1}{7}\).
Ответ: \((- \infty; -\frac{1}{7}) \cup (-\frac{1}{7}; + \infty)\).

4) Найти область определения функции \(y = \frac{5x — 4}{\sqrt{x^2 + x — 42}} + \sqrt{40 — 5x}\).
Подкоренное выражение в знаменателе должно быть больше нуля: \(x^2 + x — 42 > 0\).
Вычислим дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169\).
Корни: \(x_1 = \frac{-1 — 13}{2} = -7\), \(x_2 = \frac{-1 + 13}{2} = 6\).
Неравенство \(x^2 + x — 42 > 0\) выполняется при \(x < -7\) или \(x > 6\).
Подкоренное выражение во втором корне неотрицательно: \(40 — 5x \geq 0\), откуда \(x \leq 8\).
Пересечение условий даёт область определения: \((- \infty; -7) \cup (6; 8]\).

5) Решить неравенство \(|x^2 — 10| > x + 10\).
Рассмотрим два случая:
Случай 1: \(x^2 — 10 < 0\), тогда \(- (x^2 — 10) > x + 10\), то есть \(10 — x^2 > x + 10\), откуда \(-x^2 — x > 0\), или \(x^2 + x < 0\).
Решим \(x(x + 1) < 0\), получаем \(-1 < x < 0\).
Случай 2: \(x^2 — 10 \geq 0\), тогда \(x^2 — 10 > x + 10\), откуда \(x^2 — x — 20 > 0\).
Вычислим дискриминант: \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\).
Корни: \(x_1 = \frac{1 — 9}{2} = -4\), \(x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5\).
Неравенство выполняется при \(x < -4\) или \(x > 5\).
Ответ: \((- \infty; -4) \cup (-1; 0) \cup (5; + \infty)\).

6) При каких \(a\) неравенство \(ax^2 — 2ax + a — 9 > 0\) не имеет решений?
Вычислим дискриминант: \(D = (-2a)^2 — 4 \cdot a \cdot (a — 9) = 4a^2 — 4a^2 + 36a = 36a\).
Для отсутствия решений неравенства дискриминант должен быть меньше или равен нулю: \(36a \leq 0\), откуда \(a \leq 0\).
Ответ: \((- \infty; 0]\).