ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 9 Вариант 1 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Решите неравенство:

1) \( (x + 7)(x — 6)(x — 14) < 0 \);

2) \( (x + 1)(5x — 9)^2(3 — x)^5 > 0 \);

3) \( \frac{5x}{x^2 — 4x + 3} + \frac{2}{x — 1} > \frac{3}{x — 8} \);

4) \( \frac{x^2 — 36}{x^2 — 16} \geq 0 \).

2. Найдите множество решений неравенства \( |x — a|(3x^2 — x — 4) < 0 \) в зависимости от значения параметра \( a \).

1) Корни: -7, 6, 14. Знак меняется на этих точках. Решаем: \( (x+7)(x-6)(x-14) < 0 \). Ответ: \( (-\infty; -7) \cup (6; 14) \).

2) Корни: -1, \( \frac{9}{5} = 1.8 \), 3. Так как \( (5x-9)^2 \geq 0 \), оно не влияет на знак, кроме точки \( x=1.8 \), где равно 0. Решаем: \( (x+1)(x-3) < 0 \), исключая \( x=1.8 \). Ответ: \( (-1; 1.8) \cup (1.8; 3) \).

3) Приводим к общему знаменателю:
\( \frac{5x}{(x-1)(x-3)} + \frac{2}{x-1} — \frac{3}{x-3} \geq 0 \),
числитель: \( 5x + 2(x-3) — 3(x-1) = 4x — 3 \).
Неравенство: \( \frac{4x — 3}{(x-1)(x-3)} \geq 0 \).
Корни числителя и знаменателя: \( x= \frac{3}{4} = 0.75, 1, 3 \).
Ответ: \( [0.75; 1) \cup (3; +\infty) \).

4) Область определения: \( x^2 — 16 \geq 0 \Rightarrow x \leq -4 \) или \( x \geq 4 \).
Числитель: \( x^2 — 36 = (x-6)(x+6) \geq 0 \Rightarrow x \leq -6 \) или \( x \geq 6 \).
Ответ: \( (-\infty; -6] \cup [-4; 4] \cup [6; +\infty) \).

2) Решаем \( |x — a|(3x^2 — x — 4) \leq 0 \).

Решаем \( 3x^2 — x — 4 \leq 0 \).
Дискриминант: \( D = 1 + 48 = 49 \).
Корни: \( x_1 = -1 \), \( x_2 = \frac{4}{3} \).
Тогда \( (x+1)(x — \frac{4}{3}) \leq 0 \Rightarrow -1 \leq x \leq \frac{4}{3} \).

Если \( a \in [-1; \frac{4}{3}] \), то ответ \( [-1; \frac{4}{3}] \).
Если \( a \notin [-1; \frac{4}{3}] \), то ответ \( [-1; \frac{4}{3}] \cup \{a\} \).

1) Решаем неравенство \( (x+7)(x-6)(x-14) < 0 \).
Сначала находим корни уравнения \( (x+7)(x-6)(x-14) = 0 \), это \( x = -7, 6, 14 \). Эти точки разбивают числовую ось на интервалы: \( (-\infty; -7) \), \( (-7; 6) \), \( (6; 14) \), \( (14; +\infty) \).
Выберем тестовые точки на каждом интервале и проверим знак произведения:
На \( (-\infty; -7) \) возьмем \( x = -8 \), тогда все множители отрицательны, произведение отрицательно, значит знак < 0.
На \( (-7; 6) \) возьмем \( x = 0 \), тогда \( (0+7)>0 \), \( (0-6)<0 \), \( (0-14)<0 \), произведение положительно.
На \( (6; 14) \) возьмем \( x = 10 \), тогда \( (10+7)>0 \), \( (10-6)>0 \), \( (10-14)<0 \), произведение отрицательно.
На \( (14; +\infty) \) возьмем \( x = 15 \), все множители положительны, произведение положительно.
Ответ: \( (-\infty; -7) \cup (6; 14) \).

2) Неравенство \( (x+1)(5x-9)^2 (3-x)^5 > 0 \).
Корни: \( x = -1 \), \( x = \frac{9}{5} = 1.8 \), \( x = 3 \).
Так как \( (5x-9)^2 \geq 0 \) и равно 0 только в \( x=1.8 \), знак произведения зависит от \( (x+1) \) и \( (3-x)^5 \).
Рассмотрим интервалы:
На \( (-\infty; -1) \), \( x+1 < 0 \), \( 3-x > 0 \), степень 5 нечетная, значит \( (3-x)^5 > 0 \), произведение отрицательно.
На \( (-1; 1.8) \), \( x+1 > 0 \), \( 3-x > 0 \), произведение положительно.
В точке \( x=1.8 \), произведение равно 0, не подходит.
На \( (1.8; 3) \), \( x+1 > 0 \), \( 3-x > 0 \), произведение положительно.
На \( (3; +\infty) \), \( 3-x < 0 \), степень 5 нечетная, произведение отрицательно.
Ответ: \( (-1; 1.8) \cup (1.8; 3) \).

3) Решаем неравенство \( \frac{5x}{x^2 — 4x + 3} + \frac{2}{x-1} \geq \frac{3}{x-3} \).
Заметим, что \( x^2 — 4x + 3 = (x-1)(x-3) \).
Приведем к общему знаменателю:
\( \frac{5x}{(x-1)(x-3)} + \frac{2}{x-1} — \frac{3}{x-3} \geq 0 \).
Запишем все под одним знаменателем:
\( \frac{5x}{(x-1)(x-3)} + \frac{2(x-3)}{(x-1)(x-3)} — \frac{3(x-1)}{(x-1)(x-3)} \geq 0 \).
Сложим числители:
\( 5x + 2(x-3) — 3(x-1) = 5x + 2x — 6 — 3x + 3 = 4x — 3 \).
Получаем:
\( \frac{4x — 3}{(x-1)(x-3)} \geq 0 \).
Корни числителя и знаменателя: \( x = \frac{3}{4} = 0.75 \), \( x=1 \), \( x=3 \) (запрещенные точки для знаменателя).
Проверяем знаки на интервалах:
На \( (-\infty; 0.75) \), числитель отрицателен, знаменатель положителен (оба множителя отрицательны), дробь отрицательна.
На \( (0.75; 1) \), числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
На \( (1; 3) \), числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
На \( (3; +\infty) \), числитель и знаменатель положительны, дробь положительна.
Точка \( x=0.75 \) входит в решение, так как числитель равен 0.
Ответ: \( [0.75; 1) \cup (3; +\infty) \).

4) Решаем неравенство \( \frac{x^2 — 36}{\sqrt{x^2 — 16}} \geq 0 \).
Область определения: \( x^2 — 16 \geq 0 \Rightarrow x \leq -4 \) или \( x \geq 4 \).
Числитель раскладываем: \( x^2 — 36 = (x-6)(x+6) \).
Числитель \( \geq 0 \) при \( x \leq -6 \) или \( x \geq 6 \), иначе отрицателен.
Знаменатель \( \sqrt{x^2 — 16} > 0 \) на области определения.
Рассмотрим пересечения:
На \( (-\infty; -6] \), числитель и знаменатель положительны, дробь \( \geq 0 \).
На \( (-6; -4] \), числитель отрицателен, дробь отрицательна.
На \( [4; 6) \), числитель отрицателен, дробь отрицательна.
На \( [6; +\infty) \), числитель и знаменатель положительны, дробь \( \geq 0 \).
Ответ: \( (-\infty; -6] \cup [6; +\infty) \).

5) Решаем неравенство с параметром \( a \): \( |x — a|(3x^2 — x — 4) < 0 \).
Модуль всегда \( \geq 0 \), значит произведение меньше нуля возможно только если \( 3x^2 — x — 4 < 0 \) и \( x \neq a \).
Решим \( 3x^2 — x — 4 < 0 \).
Дискриминант: \( D = (-1)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 \).
Корни:
\( x_1 = \frac{1 — 7}{6} = -1 \),
\( x_2 = \frac{1 + 7}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \).
Парабола вверх, значит неравенство выполняется на интервале \( (-1; \frac{4}{3}) \).
Если \( a \in (-1; \frac{4}{3}) \), то ответ: \( (-1; a) \cup (a; \frac{4}{3}) \).
Если \( a \notin (-1; \frac{4}{3}) \), то ответ: \( (-1; \frac{4}{3}) \).