ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 9 Вариант 2 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Решите неравенство:

1) \( (x + 6)(x — 1)(x — 7) > 0 \);

2) \( (x + 4)(6 — x)^8 (3x — 1)^5 > 0 \);

3) \( \frac{4x}{x^2 — 6x + 5} + \frac{3}{x — 1} > \frac{2}{x — 5} \);

4) \( (x^2 — 49) \sqrt{x^2 — 4} > 0 \).

2. Найдите множество решений неравенства \( |x — a|(2x^2 — x — 3) < 0 \) в зависимости от значения параметра \( a \).

1) \((x+6)(x-1)(x-7)>0\)
Корни: \(-6, 1, 7\)
Интервалы: \(-6<x<1, x>7\)
Ответ: \((-6; 1) \cup (7; +\infty)\)

2) \((x+4)(6-x)^8(3x-1)^5 > 0\)
Степень у \((6-x)\) четная, знак не меняется, учитываем \(x+4\) и \(3x-1\)
Корни: \(-4, \frac{1}{3}, 6\)
Интервалы: \(x<-4, \frac{1}{3} < x < 6, x > 6\)
Ответ: \((-\infty; -4) \cup \left(\frac{1}{3}; 6\right) \cup (6; +\infty)\)

3) \(\frac{4x}{x^2 — 6x + 5} + \frac{3}{x-1} \geq \frac{2}{x-5}\)
Общий знаменатель \((x-1)(x-5)\)
Числитель: \(4x + 3(x-5) — 2(x-1) = 5x — 13\)
Неравенство: \(\frac{5x — 13}{(x-1)(x-5)} \geq 0\)
Корни: \(x=1, x=2.6, x=5\)
Ответ: \((1; 2.6] \cup (5; +\infty)\)

4) \((x^2 — 49) \sqrt{x^2 — 4} \geq 0\)
Область определения: \(x^2 — 4 \geq 0 \Rightarrow x \leq -2 \text{ или } x \geq 2\)
Знак \(x^2 — 49 = (x-7)(x+7)\)
Ответ: \((-\infty; -7] \cup \{-2; 2\} \cup [7; +\infty)\)

2) \(|x — a|(2x^2 — x — 3) \leq 0\)
Корни \(2x^2 — x — 3 = 0\) это \(x=-1\) и \(x=1.5\)
Интервал, где \(2x^2 — x — 3 \leq 0\): \([-1; 1.5]\)
Ответ: если \(a \in [-1; 1.5]\), тогда \(x \in [-1; 1.5]\);
если \(a \notin [-1; 1.5]\), тогда \(x \in [-1; 1.5] \cup \{a\}\)

1) Рассмотрим неравенство \((x+6)(x-1)(x-7) > 0\). Корни уравнения: \(-6, 1, 7\). Разобьём числовую ось на интервалы по этим корням: \((-\infty; -6)\), \((-6; 1)\), \((1; 7)\), \((7; +\infty)\). Выберем тестовые точки из каждого интервала и определим знак произведения. Для \(x < -6\) все множители отрицательны, произведение отрицательное. Для \(-6 < x < 1\) два множителя положительны, одно отрицательно, произведение положительное. Для \(1 < x < 7\) два множителя отрицательны, один положителен, произведение отрицательное. Для \(x > 7\) все множители положительны, произведение положительное. Значит, решение: \(x \in (-6; 1) \cup (7; +\infty)\).

2) Рассмотрим неравенство \((x+4)(6-x)^8(3x-1)^5 > 0\). Корни: \(-4, 6, \frac{1}{3}\). Степень у \((6-x)\) равна 8, что чётно, поэтому знак этого множителя не меняется при переходе через корень. Значит, знак всего произведения зависит от \((x+4)\) и \((3x-1)^5\). Проверим интервалы: \(x < -4\), \(-4 < x < \frac{1}{3}\), \(\frac{1}{3} < x < 6\), \(x > 6\). При \(x < -4\) оба \((x+4)\) и \((3x-1)\) отрицательны, но \((3x-1)^5\) отрицателен, произведение положительно. На \(-4 < x < \frac{1}{3}\) \((x+4)\) положителен, \((3x-1)^5\) отрицателен, произведение отрицательно. На \(\frac{1}{3} < x < 6\) оба положительны, произведение положительно. При \(x > 6\) знак такой же, произведение положительно. Ответ: \(x \in (-\infty; -4) \cup \left(\frac{1}{3}; 6\right) \cup (6; +\infty)\).

3) Решим неравенство \(\frac{4x}{x^2 — 6x + 5} + \frac{3}{x-1} \geq \frac{2}{x-5}\). Заметим, что \(x^2 — 6x + 5 = (x-1)(x-5)\). Приведём к общему знаменателю \((x-1)(x-5)\): \(\frac{4x}{(x-1)(x-5)} + \frac{3(x-5)}{(x-1)(x-5)} — \frac{2(x-1)}{(x-1)(x-5)} \geq 0\). Сложим числители: \(4x + 3(x-5) — 2(x-1) = 4x + 3x — 15 — 2x + 2 = 5x — 13\). Получаем \(\frac{5x — 13}{(x-1)(x-5)} \geq 0\). Корни числителя: \(x = \frac{13}{5} = 2.6\), корни знаменателя: \(x=1, x=5\). Проверим знаки на интервалах: \((-\infty; 1)\), \((1; 2.6)\), \((2.6; 5)\), \((5; +\infty)\). Получаем решение: \(x \in (1; 2.6] \cup (5; +\infty)\).

4) Решим неравенство \((x^2 — 49) \sqrt{x^2 — 4} \geq 0\). Область определения: \(x^2 — 4 \geq 0\), значит \(x \leq -2\) или \(x \geq 2\). Знак \(x^2 — 49 = (x-7)(x+7)\) положителен при \(x \leq -7\) и \(x \geq 7\), отрицателен между ними. Пересекаем с областью определения. Решение: \(x \in (-\infty; -7] \cup \{-2; 2\} \cup [7; +\infty)\).

2) Рассмотрим неравенство \(|x — a|(2x^2 — x — 3) \leq 0\). Модуль всегда неотрицателен, значит произведение \(\leq 0\) возможно, если либо \(|x — a| = 0\), либо \(2x^2 — x — 3 \leq 0\) и \(|x — a| \geq 0\). Найдём корни квадратного трёхчлена: дискриминант \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25\). Корни: \(x_1 = \frac{1 — 5}{4} = -1\), \(x_2 = \frac{1 + 5}{4} = 1.5\). Парабола вверх, значит \(2x^2 — x — 3 \leq 0\) на интервале \([-1; 1.5]\). Если \(a \in [-1; 1.5]\), то решение \(x \in [-1; 1.5]\). Если \(a \notin [-1; 1.5]\), то решение \(x \in [-1; 1.5] \cup \{a\}\).