Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 9 класса под редакцией А.Г. Мерзляка и В.М. Полякова — это учебное пособие, созданное в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и входящее в систему учебно-методических комплектов «Алгоритм успеха». Пособие предназначено для закрепления и проверки знаний, полученных на уроках алгебры, и способствует формированию у школьников устойчивых математических умений.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 9 Вариант 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
1. Решите неравенство:
1) \( (x + 4)(x — 9)(x — 17) < 0 \);
2) \( (x — 8)^8 (5x + 1) (11 — x) > 0 \);
3) \( \frac{3x}{x^2 — 3x + 2} + \frac{5}{x — 1} > \frac{4}{x — 2} \);
4) \( (x^2 — 25) \sqrt{x^2 — 9} > 0 \).
2. Найдите множество решений неравенства \( |x — a|(3x^2 — 2x — 1) < 0 \) в зависимости от значения параметра \( a \).
1) Решаем неравенство \( (x+4)(x-9)(x-17) < 0 \). Корни: \(-4, 9, 17\). Знак меняется на каждом корне. Решение: \( (-\infty; -4) \cup (9; 17) \).
2) Решаем \( (x-8)^8 (5x+1)^5 (11-x) > 0 \). Корни: \(8, -\frac{1}{5}, 11\). Так как степень у \( (x-8) \) чётная, знак не меняется в точке \(8\). Решаем \( (5x+1)(11-x) > 0 \), корни \(-\frac{1}{5}\) и \(11\). Знак положителен на интервале \(\left(-\frac{1}{5}; 11\right)\). Исключаем \(x=8\) (степень чётная, но выражение равно нулю). Ответ: \( \left(-\frac{1}{5}; 8\right) \cup (8; 11) \).
3) Решаем \( \frac{3x}{x^2 — 3x + 2} + \frac{5}{x-1} \geq \frac{4}{x-2} \). Знаменатель \(x^2 — 3x + 2 = (x-1)(x-2)\). Приводим к общему знаменателю и упрощаем числитель:
\(3x + 5(x-2) — 4(x-1) = 4x — 6\).
Неравенство: \( \frac{4x — 6}{(x-1)(x-2)} \geq 0 \).
Корни числителя: \(x = \frac{3}{2}\), корни знаменателя: \(1, 2\).
Знак положителен на интервалах \( (1; \frac{3}{2}] \cup (2; +\infty) \).
4) Решаем \( (x^2 — 25) \sqrt{x^2 — 9} \geq 0 \).
Область определения: \(x \leq -3\) или \(x \geq 3\).
\(x^2 — 25 = (x-5)(x+5)\), положительно при \(x \leq -5\) или \(x \geq 5\).
Ответ: \( (-\infty; -5] \cup \{-3; 3\} \cup [5; +\infty) \).
2) Решаем \( |x — a| (3x^2 — 2x -1) \leq 0 \).
Квадратное выражение \(3x^2 — 2x -1 \leq 0\) при \(x \in \left[-\frac{1}{3}; 1\right]\).
Если \(a \in \left[-\frac{1}{3}; 1\right]\), то \(x \in \left[-\frac{1}{3}; 1\right]\).
Если \(a \notin \left[-\frac{1}{3}; 1\right]\), то \(x \in \left[-\frac{1}{3}; 1\right] \cup \{a\}\).
1) Рассмотрим неравенство \( (x+4)(x-9)(x-17) < 0 \). Найдём корни: \(x = -4\), \(x = 9\), \(x = 17\). Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: \( (-\infty; -4) \), \( (-4; 9) \), \( (9; 17) \), \( (17; +\infty) \). Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим в выражение, чтобы определить знак произведения.
На интервале \( (-\infty; -4) \) возьмём \(x = -5\). Тогда \( (x+4) = -1 < 0 \), \( (x-9) = -14 < 0 \), \( (x-17) = -22 < 0 \). Произведение трёх отрицательных чисел отрицательно, значит знак произведения отрицательный.
На интервале \( (-4; 9) \) возьмём \(x = 0\). Тогда \( (x+4) = 4 > 0 \), \( (x-9) = -9 < 0 \), \( (x-17) = -17 < 0 \). Произведение двух отрицательных и одного положительного множителя положительно.
На интервале \( (9; 17) \) возьмём \(x = 10\). Тогда \( (x+4) = 14 > 0 \), \( (x-9) = 1 > 0 \), \( (x-17) = -7 < 0 \). Произведение двух положительных и одного отрицательного множителя отрицательно.
На интервале \( (17; +\infty) \) возьмём \(x = 18\). Тогда все множители положительны, произведение положительно.
Неравенство требует, чтобы произведение было меньше нуля, значит решение: \( (-\infty; -4) \cup (9; 17) \).
2) Рассмотрим неравенство \( (x-8)^8 (5x+1)^5 (11 — x) > 0 \). Корни: \(x = 8\), \(x = -\frac{1}{5}\), \(x = 11\). Степень у множителя \( (x-8) \) равна 8 — чётная степень, поэтому знак произведения при переходе через \(x=8\) не меняется.
Рассмотрим знак произведения \( (5x+1)^5 (11 — x) \). Корни здесь \(x = -\frac{1}{5}\) и \(x = 11\). Разобьём ось на интервалы: \( (-\infty; -\frac{1}{5}) \), \( (-\frac{1}{5}; 11) \), \( (11; +\infty) \).
На интервале \( (-\infty; -\frac{1}{5}) \) возьмём \(x = -1\). Тогда \(5x+1 = -4 < 0\), \(11 — x = 12 > 0\). Произведение отрицательное.
На интервале \( (-\frac{1}{5}; 11) \) возьмём \(x = 0\). Тогда \(5x+1 = 1 > 0\), \(11 — x = 11 > 0\). Произведение положительное.
На интервале \( (11; +\infty) \) возьмём \(x = 12\). Тогда \(5x+1 = 61 > 0\), \(11 — x = -1 < 0\). Произведение отрицательное.
Так как \( (x-8)^8 \geq 0 \) и не меняет знак, итоговый знак произведения совпадает со знаком \( (5x+1)^5 (11 — x) \).
Неравенство требует строго больше нуля, значит исключаем точки, где выражение равно нулю, в частности \(x = 8\).
Ответ: \( \left(-\frac{1}{5}; 8\right) \cup (8; 11) \).
3) Решим неравенство \( \frac{3x}{x^2 — 3x + 2} + \frac{5}{x-1} \geq \frac{4}{x-2} \).
Заметим, что \(x^2 — 3x + 2 = (x-1)(x-2)\).
Приведём все дроби к общему знаменателю \( (x-1)(x-2) \):
\[
\frac{3x}{(x-1)(x-2)} + \frac{5(x-2)}{(x-1)(x-2)} — \frac{4(x-1)}{(x-1)(x-2)} \geq 0.
\]
Сложим числители:
\[
3x + 5(x-2) — 4(x-1) = 3x + 5x — 10 — 4x + 4 = 4x — 6.
\]
Получаем:
\[
\frac{4x — 6}{(x-1)(x-2)} \geq 0.
\]
Найдём корни числителя: \(4x — 6 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\).
Корни знаменателя: \(x = 1\), \(x = 2\).
Разобьём числовую ось на интервалы: \( (-\infty; 1) \), \( (1; \frac{3}{2}) \), \( (\frac{3}{2}; 2) \), \( (2; +\infty) \).
Проверим знак выражения на каждом интервале:
— На \( (1; \frac{3}{2}) \) возьмём \(x = 1.2\). Числитель \(4 \cdot 1.2 — 6 = -0.2 < 0\), знаменатель \((1.2 — 1)(1.2 — 2) = 0.2 \cdot (-0.8) = -0.16 < 0\). Отрицательное на отрицательное даёт положительное.
— На \( (\frac{3}{2}; 2) \) возьмём \(x = 1.6\). Числитель \(4 \cdot 1.6 — 6 = 0.4 > 0\), знаменатель \(0.6 \cdot (-0.4) = -0.24 < 0\). Положительное на отрицательное даёт отрицательное.
— На \( (2; +\infty) \) возьмём \(x = 3\). Числитель \(4 \cdot 3 — 6 = 6 > 0\), знаменатель \(2 \cdot 1 = 2 > 0\). Положительное на положительное даёт положительное.
Значит неравенство выполняется на интервалах \( (1; \frac{3}{2}] \) и \( (2; +\infty) \).
4) Рассмотрим неравенство \( (x^2 — 25) \sqrt{x^2 — 9} \geq 0 \).
Для определения области определения подкоренного выражения требуется \(x^2 — 9 \geq 0\), то есть \(x \leq -3\) или \(x \geq 3\).
Раскроем скобки: \(x^2 — 25 = (x — 5)(x + 5)\).
Знак выражения \( (x — 5)(x + 5) \) положителен при \(x \leq -5\) или \(x \geq 5\), отрицателен при \(-5 < x < 5\).
Пересечём с областью определения:
— При \(x \leq -5\) выражение положительно.
— При \(-5 < x \leq -3\) выражение отрицательно.
— При \(3 \leq x < 5\) выражение отрицательно.
— При \(x \geq 5\) выражение положительно.
Учтём, что при \(x = -3\) и \(x = 3\) подкоренное выражение равно нулю, значит значение всего выражения равно нулю.
Ответ: \( (-\infty; -5] \cup \{-3; 3\} \cup [5; +\infty) \).
2) Рассмотрим неравенство \( |x — a| (3x^2 — 2x — 1) \leq 0 \).
Модуль \( |x — a| \) всегда неотрицателен, поэтому произведение будет меньше или равно нуля, если \(3x^2 — 2x — 1 \leq 0\) или \(x = a\).
Найдём корни квадратного трёхчлена \(3x^2 — 2x — 1\):
Дискриминант \(D = (-2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16\).
Корни:
\(x_1 = \frac{2 — 4}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}\),
\(x_2 = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = 1\).
Парабола направлена вверх, значит \(3x^2 — 2x — 1 \leq 0\) на интервале \( \left[-\frac{1}{3}; 1\right] \).
Если \(a \in \left[-\frac{1}{3}; 1\right]\), то решение — весь интервал \( \left[-\frac{1}{3}; 1\right] \).
Если \(a \notin \left[-\frac{1}{3}; 1\right]\), то решение — интервал \( \left[-\frac{1}{3}; 1\right] \) и точка \(x = a\).
Ответ: если \(a \in \left[-\frac{1}{3}; 1\right]\), то \(x \in \left[-\frac{1}{3}; 1\right]\), иначе \(x \in \left[-\frac{1}{3}; 1\right] \cup \{a\}\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.