ГДЗ по Алгебре 9 Класс Самостоятельные и контрольные работы Самостоятельная работа 9 Вариант 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

1. Решите неравенство:

1) \( (x + 12)(x — 4)(x — 20) > 0 \);

2) \( (4x — 5)^9 (x + 1)(11 — x)^6 > 0 \);

3) \( \frac{8x}{x^2 — 6x + 5} + \frac{2}{x — 1} > \frac{4}{x — 5} \);

4) \( (x^2 — 81) \sqrt{x^2 — 49} > 0 \).

2. Найдите множество решений неравенства \( |x — a|(2x^2 + x — 3) < 0 \) в зависимости от значения параметра \( a \).

1) Решаем неравенство \((x+12)(x-4)(x-20)>0\). Корни: \(-12, 4, 20\). Знак меняется в корнях. Решение: \(-12 < x < 4\) или \(x > 20\). Ответ: \((-12; 4) \cup (20; +\infty)\).

2) Неравенство \((4x-5)^9 (x+1)(11-x)^6 > 0\). Корни: \(-1, \frac{5}{4}, 11\). Учтем степени: нечётная у \((4x-5)^9\), чётная у \((11-x)^6\). Решение: \(x < -1\), \(x > \frac{5}{4}\), \(x \neq 11\). Ответ: \((-\infty; -1) \cup (1.25; 11) \cup (11; +\infty)\).

3) Неравенство \(\frac{8x}{x^2 — 6x + 5} + \frac{2}{x — 1} \geq \frac{4}{x — 5}\). Приводим к общему знаменателю \((x-1)(x-5)\):

\(\frac{8x}{(x-1)(x-5)} + \frac{2(x-5)}{(x-1)(x-5)} — \frac{4(x-1)}{(x-1)(x-5)} \geq 0\).

Числитель: \(8x + 2(x-5) — 4(x-1) = 6x — 6\).

Получаем \(\frac{6x — 6}{(x-1)(x-5)} \geq 0\).

Корни: \(x=1\), \(x=5\) (запрещены). Проверяем знаки, решаем: \(x > 5\).

Ответ: \((5; +\infty)\).

4) Неравенство \((x^2 — 81) \sqrt{x^2 — 49} \geq 0\). Область определения: \(x^2 — 49 \geq 0 \Rightarrow x \leq -7\) или \(x \geq 7\).

Рассмотрим знак \(x^2 — 81 = (x-9)(x+9)\):

Положительно при \(x \leq -9\) или \(x \geq 9\).

Объединяем с областью определения:

Ответ: \((-\infty; -9] \cup [-7; 7] \cup [9; +\infty)\).

5) Неравенство \(|x — a|(2x^2 + x — 3) \leq 0\).

Решаем \(2x^2 + x — 3 \leq 0\). Дискриминант \(D = 1 + 24 = 25\).

Корни: \(x_1 = -\frac{6}{4} = -1.5\), \(x_2 = \frac{4}{4} = 1\).

Решение: \(-1.5 \leq x \leq 1\).

Условие: \(x = a\) или \(x \in [-1.5; 1]\).

Если \(a \in [-1.5; 1]\), то \(x \in [-1.5; 1]\).

Если \(a \notin [-1.5; 1]\), то \(x \in [-1.5; 1] \cup \{a\}\).

1) Решаем неравенство \((x+12)(x-4)(x-20) > 0\). Сначала находим корни: это \(x = -12\), \(x = 4\), \(x = 20\). Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: \((-\infty; -12)\), \((-12; 4)\), \((4; 20)\), \((20; +\infty)\). Знак произведения меняется в корнях. Проверяем знак на каждом интервале, подставляя тестовые точки. Для \(x < -12\) все множители отрицательны, произведение отрицательно. Для \(-12 < x < 4\) два множителя положительны, произведение положительно. Для \(4 < x < 20\) произведение отрицательно. Для \(x > 20\) все множители положительны, произведение положительно. Значит решение: \((-12; 4) \cup (20; +\infty)\).

2) Рассмотрим неравенство \((4x-5)^9 (x+1)(11 — x)^6 > 0\). Корни: \(x = -1\), \(x = \frac{5}{4}\), \(x = 11\). Степень у \((4x-5)^9\) нечётная, значит знак зависит от выражения \(4x — 5\). У \((11 — x)^6\) степень чётная, значит всегда неотрицательно и знак не меняется. Проверяем знаки на интервалах: для \(x < -1\) произведение положительно (отрицательное в нечётной степени и отрицательное, но в чётной степени — положительное). Для \(-1 < x < \frac{5}{4}\) произведение отрицательно. Для \(\frac{5}{4} < x < 11\) произведение положительно. Для \(x > 11\) произведение положительно. Корень \(x=11\) исключаем, так как степень чётная и при нуле произведение равно нулю, а не строго больше. Ответ: \((-\infty; -1) \cup (1.25; 11) \cup (11; +\infty)\).

3) Решаем неравенство \(\frac{8x}{x^2 — 6x + 5} + \frac{2}{x — 1} \geq \frac{4}{x — 5}\). Заметим, что \(x^2 — 6x + 5 = (x — 1)(x — 5)\). Общий знаменатель \((x — 1)(x — 5)\). Приводим к общему знаменателю: \(\frac{8x}{(x — 1)(x — 5)} + \frac{2(x — 5)}{(x — 1)(x — 5)} — \frac{4(x — 1)}{(x — 1)(x — 5)} \geq 0\). Сложим числители: \(8x + 2(x — 5) — 4(x — 1) = 8x + 2x — 10 — 4x + 4 = 6x — 6\). Получаем неравенство \(\frac{6x — 6}{(x — 1)(x — 5)} \geq 0\). Корни числителя и знаменателя: \(x = 1\), \(x = 5\) (запрещены в области определения). Проверяем знаки на интервалах: для \(x < 1\) дробь отрицательна, для \(1 < x < 5\) дробь отрицательна, для \(x > 5\) дробь положительна. Значит решение: \((5; +\infty)\).

4) Решаем неравенство \((x^2 — 81) \sqrt{x^2 — 49} \geq 0\). Область определения: \(x^2 — 49 \geq 0\), то есть \(x \leq -7\) или \(x \geq 7\). Рассмотрим знак \(x^2 — 81 = (x — 9)(x + 9)\). Положительно при \(x \leq -9\) или \(x \geq 9\), отрицательно между корнями. Объединяем с областью определения: \(x \leq -7\) или \(x \geq 7\). Значит решение: \((-\infty; -9] \cup [9; +\infty)\).

5) Решаем неравенство \(|x — a|(2x^2 + x — 3) \leq 0\). Модуль всегда неотрицателен, значит произведение неотрицательно, чтобы неравенство было выполнено, должно быть либо \(|x — a| = 0\), либо \(2x^2 + x — 3 \leq 0\). Решаем квадратное неравенство \(2x^2 + x — 3 \leq 0\). Дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25\). Корни: \(x_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4} = -1.5\), \(x_2 = \frac{-1 + 5}{4} = 1\). Парабола направлена вверх, значит неравенство выполнено на интервале \([-1.5; 1]\). Итоговое решение: \(x = a\) или \(x \in [-1.5; 1]\). Если \(a \in [-1.5; 1]\), то решение \(x \in [-1.5; 1]\). Если \(a \notin [-1.5; 1]\), то решение \(x \in [-1.5; 1] \cup \{a\}\).