ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 6.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \(y = \sqrt{2|x| — 1}\);

2) \(y = \sqrt{1 — 3|x|}\);

3) \(y = \sqrt{|2x — 1|}\).

1) Строим график функции \(y = \sqrt{x}\).

Сдвигаем график на 1 единицу вправо, получаем \(y = \sqrt{x-1}\).

Далее сжимаем график в 2 раза к оси ординат, то есть вместо \(x\) подставляем \(2x\): \(y = \sqrt{2x-1}\).

Теперь заменяем \(x\) на \(|x|\), получаем \(y = \sqrt{2|x|-1}\).

Ответ: \(y = \sqrt{2|x|-1}\).

2) Строим график функции \(y = \sqrt{-x}\).

Сдвигаем график на 1 единицу вправо, получаем \(y = \sqrt{-(x-1)}\).

Далее сжимаем график в 3 раза к оси ординат, то есть вместо \(x\) подставляем \(3x\): \(y = \sqrt{-3x+3}\).

Теперь заменяем \(x\) на \(|x|\), получаем \(y = \sqrt{-3|x|+3}\).

Ответ: \(y = \sqrt{1-3|x|}\).

3) Строим график функции \(y = \sqrt{x}\).

Заменяем \(x\) на \(|x|\), получаем \(y = \sqrt{|x|}\).

Сдвигаем график на 1 единицу вправо, получаем \(y = \sqrt{|x-1|}\).

Далее сжимаем график в 2 раза к оси ординат, то есть вместо \(x\) подставляем \(2x\): \(y = \sqrt{|2x-2|}\).

Ответ: \(y = \sqrt{|2x-1|}\).

1) Для начала рассматриваем стандартную функцию \(y = \sqrt{x}\). Это график, который начинается в точке \(x = 0\) и проходит только в области \(x \geq 0\), потому что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Далее, чтобы сдвинуть график вправо на 1, необходимо заменить \(x\) на \(x-1\), то есть получить функцию \(y = \sqrt{x-1}\). Это значит, что теперь график начинается в точке \(x = 1\), так как подкоренное выражение \((x-1)\) должно быть неотрицательным.

Следующим шагом является сжатие графика в 2 раза к оси ординат. Для этого нужно заменить \(x\) на \(2x\) в подкоренном выражении, что даёт функцию \(y = \sqrt{2x-2}\). Теперь область определения изменяется: \(2x-2 \geq 0\), то есть \(x \geq 1\). Это значит, что график начинает расти с точки \(x = 1\) и идёт вправо, но увеличивается быстрее, чем исходный график, потому что коэффициент перед \(x\) увеличился.

На последнем этапе требуется заменить \(x\) на \(|x|\), что отражает график относительно оси \(y\) и делает его симметричным. То есть теперь функция принимает вид \(y = \sqrt{2|x|-2}\). Область определения теперь: \(2|x|-2 \geq 0\), значит \(|x| \geq 1\), то есть \(x \leq -1\) или \(x \geq 1\). После всех преобразований окончательная формула будет \(y = \sqrt{2|x|-1}\).

2) Начинаем с графика функции \(y = \sqrt{-x}\). Такой график существует только для \(x \leq 0\), так как подкоренное выражение \(-x\) должно быть неотрицательным. Чтобы сдвинуть график вправо на 1, заменяем \(x\) на \(x-1\), получаем \(y = \sqrt{-(x-1)}\). Теперь область определения: \(-(x-1) \geq 0\), то есть \(x \leq 1\).

Далее производим сжатие графика в 3 раза к оси ординат, для этого вместо \(x\) подставляем \(3x\), получаем функцию \(y = \sqrt{-3x+3}\). Область определения: \(-3x+3 \geq 0\), то есть \(x \leq 1\). Таким образом, график идёт слева от точки \(x = 1\) и убывает, потому что коэффициент перед \(x\) стал больше по модулю.

Заменяем \(x\) на \(|x|\), получаем функцию \(y = \sqrt{-3|x|+3}\). Теперь область определения: \(-3|x|+3 \geq 0\), то есть \(|x| \leq 1\), то есть \(x \in [-1; 1]\). После всех преобразований окончательная формула будет \(y = \sqrt{1-3|x|}\).

3) Исходная функция \(y = \sqrt{x}\) определена при \(x \geq 0\). Если заменить \(x\) на \(|x|\), график становится симметричным относительно оси \(y\), то есть теперь определён при всех \(x\), но только для неотрицательных \(|x|\). Получаем функцию \(y = \sqrt{|x|}\).

Далее сдвигаем график на 1 вправо, то есть заменяем \(x\) на \(x-1\), получаем \(y = \sqrt{|x-1|}\). Теперь область определения: \(|x-1| \geq 0\), что выполняется при любых \(x\), но подкоренное выражение всегда неотрицательно.

Следующим шагом сжимаем график в 2 раза к оси ординат, то есть вместо \(x\) подставляем \(2x\), получаем функцию \(y = \sqrt{|2x-2|}\). Область определения: \(|2x-2| \geq 0\), что выполняется всегда. Итоговая формула после всех преобразований: \(y = \sqrt{|2x-1|}\).