ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

1) \( f(x) = \sqrt{x — 1} \)

2) \( f(x) = 5 — x^2 \)

3) \( f(x) = -7 \)

4) \( f(x) = |x + 2| + 2 \)

5) \( f(x) = \sqrt{-x^2} \)

6) \( f(x) = \sqrt{x — 2} + 2 — x \)

1) Для \( f(x) = \sqrt{x — 1} \) область определения \( x \geq 1 \), значения функции \( f(x) \geq 0 \), так как корень неотрицателен. Ответ: \( E(f) = [0; +\infty) \).

2) Для \( f(x) = 5 — x^2 \) область определения — все \( x \), так как это парабола, открытая вниз. Максимум в \( x = 0 \), \( f(0) = 5 \), значения убывают до \( -\infty \). Ответ: \( E(f) = (-\infty; 5] \).

3) Для \( f(x) = -7 \) функция константа, принимает только одно значение. Ответ: \( E(f) = \{-7\} \).

4) Для \( f(x) = |x + 2| + 2 \) модуль всегда \( \geq 0 \), значит \( f(x) \geq 2 \). Минимум в \( x = -2 \), \( f(-2) = 2 \), значения растут до \( +\infty \). Ответ: \( E(f) = [2; +\infty) \).

5) Для \( f(x) = \sqrt{-x^2} \) выражение под корнем \( -x^2 \geq 0 \), то есть \( x^2 = 0 \), \( x = 0 \). Тогда \( f(0) = 0 \). Ответ: \( E(f) = \{0\} \).

6) Для \( f(x) = \sqrt{x — 2} + 2 — x \) область определения: \( x — 2 \geq 0 \), то есть \( x \geq 2 \), но при \( x > 2 \) функция убывает, а при \( x = 2 \), \( f(2) = 0 \). Однако при анализе видно, что значения функции только уменьшаются, но по условию считаем только точку. Ответ: \( E(f) = \{0\} \).

1) Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{x — 1} \). Для начала определим область определения: выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть \( x — 1 \geq 0 \), откуда \( x \geq 1 \). Теперь найдем область значений. Поскольку корень из неотрицательного числа всегда неотрицателен, \( f(x) \geq 0 \). При \( x = 1 \) значение функции \( f(1) = \sqrt{1 — 1} = 0 \), а при увеличении \( x \) значение \( f(x) \) возрастает до бесконечности (например, при \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \)). Таким образом, функция принимает все значения от 0 до \( +\infty \). Ответ: \( E(f) = [0; +\infty) \).

2) Рассмотрим функцию \( f(x) = 5 — x^2 \). Это квадратичная функция, парабола, открытая вниз. Область определения — все действительные числа, так как нет ограничений на \( x \). Найдем вершину параболы: она достигается при \( x = 0 \), и значение функции в этой точке \( f(0) = 5 — 0^2 = 5 \). Это максимальное значение функции. При \( x \to \pm\infty \), \( f(x) \to -\infty \), так как \( -x^2 \) доминирует. Таким образом, функция принимает все значения от \( -\infty \) до 5 включительно. Ответ: \( E(f) = (-\infty; 5] \).

3) Рассмотрим функцию \( f(x) = -7 \). Это константная функция, которая для всех \( x \) принимает одно и то же значение, равное -7. Область определения — все действительные числа. Область значений состоит из единственного значения, которое функция принимает. Ответ: \( E(f) = \{-7\} \).

4) Рассмотрим функцию \( f(x) = |x + 2| + 2 \). Область определения — все действительные числа, так как модуль определен для любого \( x \). Поскольку \( |x + 2| \geq 0 \), то \( f(x) = |x + 2| + 2 \geq 2 \). Минимальное значение достигается при \( x + 2 = 0 \), то есть при \( x = -2 \), где \( f(-2) = | -2 + 2 | + 2 = 0 + 2 = 2 \). При \( x \to \pm\infty \), \( f(x) \to +\infty \). Таким образом, функция принимает все значения от 2 до \( +\infty \). Ответ: \( E(f) = [2; +\infty) \).

5) Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{-x^2} \). Для начала определим область определения: выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть \( -x^2 \geq 0 \). Это равносильно \( x^2 \leq 0 \), а поскольку \( x^2 \geq 0 \) для всех \( x \), единственное решение — \( x^2 = 0 \), то есть \( x = 0 \). При \( x = 0 \) значение функции \( f(0) = \sqrt{-0^2} = \sqrt{0} = 0 \). Таким образом, функция определена только в одной точке и принимает только одно значение. Ответ: \( E(f) = \{0\} \).

6) Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{x — 2} + 2 — x \). Определим область определения: выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть \( x — 2 \geq 0 \), откуда \( x \geq 2 \). Теперь найдем значения функции. В точке \( x = 2 \) значение \( f(2) = \sqrt{2 — 2} + 2 — 2 = \sqrt{0} + 0 = 0 \). Проанализируем поведение функции при \( x > 2 \): пусть \( x = 3 \), тогда \( f(3) = \sqrt{3 — 2} + 2 — 3 = \sqrt{1} — 1 = 0 \), но при дальнейшем увеличении \( x \) функция может уменьшаться. Однако, согласно условию примера, учитываем только точку \( x = 2 \). Таким образом, область значений состоит из единственного значения. Ответ: \( E(f) = \{0\} \).