ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

1) \( f(x) = \sqrt{x — 1} \)

2) \( f(x) = 5 — x^2 \)

3) \( f(x) = -7 \)

4) \( f(x) = |x + 2| + 2 \)

5) \( f(x) = \sqrt{-x^2} \)

6) \( f(x) = \sqrt{x — 2} + 2 — x \)

1) Рассмотрим \(f(x)=\sqrt{x}-1\). Требование определения корня: \(x\ge 0\). Тогда значения \(f\) принимают все числа \(y=\sqrt{x}-1\), где \(\sqrt{x}\in[0,+\infty)\), значит \(y\in[-1,+\infty)\). Ответ: \(E(f)=[-1,+\infty)\).

2) Рассмотрим \(f(x)=5-x^2\). Область определения: все \(x\in\mathbb{R}\). Так как \(x^2\ge 0\), то \(-x^2\le 0\), следовательно \(f(x)=5-x^2\le 5\). При \(x=0\) получаем максимум \(f(0)=5\), а при \(|x|\to\infty\) значения \(f(x)\to -\infty\). Значит \(E(f)=(-\infty,5]\).

3) Для \( f(x) = -7 \) функция константа, принимает только одно значение. Ответ: \( E(f) = \{-7\} \).

4) Для \( f(x) = |x + 2| + 2 \) модуль всегда \( \geq 0 \), значит \( f(x) \geq 2 \). Минимум в \( x = -2 \), \( f(-2) = 2 \), значения растут до \( +\infty \). Ответ: \( E(f) = [2; +\infty) \).

5) Для \( f(x) = \sqrt{-x^2} \) выражение под корнем \( -x^2 \geq 0 \), то есть \( x^2 = 0 \), \( x = 0 \). Тогда \( f(0) = 0 \). Ответ: \( E(f) = \{0\} \).

6) Для \( f(x) = \sqrt{x — 2} + 2 — x \) область определения: \( x — 2 \geq 0 \), то есть \( x \geq 2 \), но при \( x > 2 \) функция убывает, а при \( x = 2 \), \( f(2) = 0 \). Однако при анализе видно, что значения функции только уменьшаются, но по условию считаем только точку. Ответ: \( E(f) = \{0\} \).

1) Рассмотрим функцию \(f(x)=\sqrt{x}-1\). Для корректности корня требуется \(x\ge 0\), иначе выражение под корнем было бы отрицательным и значение не определено в действительных числах. При \(x=0\) получаем \(f(0)=\sqrt{0}-1=0-1=-1\). По мере роста \(x\), величина \(\sqrt{x}\) неубывающая и принимает все значения от \(0\) до сколь угодно больших, поэтому \(f(x)=\sqrt{x}-1\) принимает все значения от \(-1\) и выше без верхнего ограничения. Следовательно, множество значений функции есть промежуток от минимального достигнутого значения \(-1\) до бесконечно больших значений, то есть \(E(f)=[-1,+\infty)\).

Точнее, пусть \(y=\sqrt{x}-1\). Тогда \(\sqrt{x}=y+1\), а это возможно тогда и только тогда, когда \(y+1\ge 0\), то есть \(y\ge -1\). При каждом таком \(y\) можно взять \(x=(y+1)^2\ge 0\) и получить \(f(x)=y\). Значит каждая точка \(y\ge -1\) реализуется как значение функции, а точек ниже \(-1\) быть не может, поскольку \(\sqrt{x}\ge 0\) и, следовательно, \(\sqrt{x}-1\ge -1\). Это подтверждает, что нижняя граница включается, верхней нет: \(E(f)=[-1,+\infty)\).

Заметим также, что монотонность \(\sqrt{x}\) на \(x\ge 0\) переносится на \(f(x)=\sqrt{x}-1\), поэтому минимум достигается там, где \(\sqrt{x}\) минимальна, то есть при \(x=0\). Максимума нет, так как при \(x\to +\infty\) имеем \(\sqrt{x}\to +\infty\), и потому \(f(x)\to +\infty\). Отсюда окончательно следует, что множество значений имеет вид неограниченного сверху луча с включённой нижней точкой: \(E(f)=[-1,+\infty)\).

2) Рассмотрим функцию \( f(x) = 5 — x^2 \). Это квадратичная функция, парабола, открытая вниз. Область определения — все действительные числа, так как нет ограничений на \( x \). Найдем вершину параболы: она достигается при \( x = 0 \), и значение функции в этой точке \( f(0) = 5 — 0^2 = 5 \). Это максимальное значение функции. При \( x \to \pm\infty \), \( f(x) \to -\infty \), так как \( -x^2 \) доминирует. Таким образом, функция принимает все значения от \( -\infty \) до 5 включительно. Ответ: \( E(f) = (-\infty; 5] \).

3) Рассмотрим функцию \( f(x) = -7 \). Это константная функция, которая для всех \( x \) принимает одно и то же значение, равное -7. Область определения — все действительные числа. Область значений состоит из единственного значения, которое функция принимает. Ответ: \( E(f) = \{-7\} \).

4) Рассмотрим функцию \( f(x) = |x + 2| + 2 \). Область определения — все действительные числа, так как модуль определен для любого \( x \). Поскольку \( |x + 2| \geq 0 \), то \( f(x) = |x + 2| + 2 \geq 2 \). Минимальное значение достигается при \( x + 2 = 0 \), то есть при \( x = -2 \), где \( f(-2) = | -2 + 2 | + 2 = 0 + 2 = 2 \). При \( x \to \pm\infty \), \( f(x) \to +\infty \). Таким образом, функция принимает все значения от 2 до \( +\infty \). Ответ: \( E(f) = [2; +\infty) \).

5) Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{-x^2} \). Для начала определим область определения: выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть \( -x^2 \geq 0 \). Это равносильно \( x^2 \leq 0 \), а поскольку \( x^2 \geq 0 \) для всех \( x \), единственное решение — \( x^2 = 0 \), то есть \( x = 0 \). При \( x = 0 \) значение функции \( f(0) = \sqrt{-0^2} = \sqrt{0} = 0 \). Таким образом, функция определена только в одной точке и принимает только одно значение. Ответ: \( E(f) = \{0\} \).

6) Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{x — 2} + 2 — x \). Определим область определения: выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть \( x — 2 \geq 0 \), откуда \( x \geq 2 \). Теперь найдем значения функции. В точке \( x = 2 \) значение \( f(2) = \sqrt{2 — 2} + 2 — 2 = \sqrt{0} + 0 = 0 \). Проанализируем поведение функции при \( x > 2 \): пусть \( x = 3 \), тогда \( f(3) = \sqrt{3 — 2} + 2 — 3 = \sqrt{1} — 1 = 0 \), но при дальнейшем увеличении \( x \) функция может уменьшаться. Однако, согласно условию примера, учитываем только точку \( x = 2 \). Таким образом, область значений состоит из единственного значения. Ответ: \( E(f) = \{0\} \).