ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

1) \( f(x) = x^2 + 3 \)

2) \( f(x) = 6 — \sqrt{x} \)

3) \( f(x) = (x)^2 \)

1) Для функции \( f(x) = x^2 + 3 \) область значений определяется тем, что \( x^2 \geq 0 \), следовательно, \( f(x) \geq 3 \). Ответ: \( E(f) = [3; +\infty) \).

2) Для функции \( f(x) = 6 — \sqrt{x} \) область определения \( x \geq 0 \), при этом \( \sqrt{x} \geq 0 \), поэтому \( f(x) \leq 6 \). Ответ: \( E(f) = (-\infty; 6] \).

3) Для функции \( f(x) = x^2 \) область значений определяется тем, что \( x^2 \geq 0 \) для всех \( x \). Ответ: \( E(f) = [0; +\infty) \).

1) Рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 + 3 \). Для нахождения области значений функции необходимо определить все возможные значения, которые принимает функция при всех допустимых значениях аргумента \( x \). Здесь область определения функции — все действительные числа, так как выражение \( x^2 + 3 \) определено для любого \( x \in \mathbb{R} \).

Поскольку \( x^2 \geq 0 \) для всех \( x \), минимальное значение \( x^2 \) равно 0, что достигается при \( x = 0 \). Тогда минимальное значение функции будет \( f(0) = 0 + 3 = 3 \). При увеличении или уменьшении \( x \) значение \( x^2 \) растет, и, следовательно, \( f(x) \) также увеличивается, стремясь к бесконечности. Таким образом, функция принимает все значения, начиная с 3 и выше.

Ответ: \( E(f) = [3; +\infty) \).

2) Перейдем к функции \( f(x) = 6 — \sqrt{x} \). Сначала определим область определения: поскольку под корнем должно быть неотрицательное число, \( x \geq 0 \). Таким образом, аргумент \( x \) принимает значения от 0 до бесконечности.

Теперь проанализируем значения функции. При \( x = 0 \) значение функции максимально: \( f(0) = 6 — \sqrt{0} = 6 \). С увеличением \( x \) значение \( \sqrt{x} \) растет, а значит, \( f(x) \) уменьшается. Например, при \( x = 1 \), \( f(1) = 6 — 1 = 5 \), а при \( x = 4 \), \( f(4) = 6 — 2 = 4 \). По мере роста \( x \), \( f(x) \) стремится к \( -\infty \), так как \( \sqrt{x} \) неограниченно увеличивается. Таким образом, функция принимает все значения от \( -\infty \) до 6 включительно.

Ответ: \( E(f) = (-\infty; 6] \).

3) Рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 \). Область определения этой функции — все действительные числа, так как \( x^2 \) определено для любого \( x \in \mathbb{R} \).

Анализируя значения функции, видим, что \( x^2 \geq 0 \) для всех \( x \). Минимальное значение достигается при \( x = 0 \), где \( f(0) = 0 \). При увеличении или уменьшении \( x \) значение \( f(x) \) растет, стремясь к бесконечности. Таким образом, область значений функции — все неотрицательные числа.

Ответ: \( E(f) = [0; +\infty) \).