ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Какая из функций является взаимно однозначным отображением множества \( D(y) \) на множество \( E(y) \):

1) \( y = 2x + 1 \)

2) \( y = |x| \)

3) \( y = \sqrt{x} \)

1) Функция \( y = 2x + 1 \) является взаимно однозначным отображением, так как для каждого \( y \) существует единственное \( x = \frac{y — 1}{2} \), и наоборот.

2) Функция \( y = |x| \) не является взаимно однозначной, так как одному значению \( y \) соответствуют два значения \( x \) (например, \( y = 1 \) соответствует \( x = 1 \) и \( x = -1 \)).

3) Функция \( y = \sqrt{x} \) является взаимно однозначной на области определения \( x \geq 0 \), так как для каждого \( y \geq 0 \) существует единственное \( x = y^2 \).

Ответ: функции \( y = 2x + 1 \) и \( y = \sqrt{x} \).

1) Рассмотрим функцию \( y = 2x + 1 \). Эта функция является линейной, и для каждого значения \( x \) она принимает единственное значение \( y \). Чтобы проверить, является ли она взаимно однозначной, выразим \( x \) через \( y \): \( y = 2x + 1 \), откуда \( 2x = y — 1 \), а значит \( x = \frac{y — 1}{2} \). Для каждого \( y \) существует единственное значение \( x \), и, поскольку функция линейная и возрастающая, каждому \( x \) соответствует единственное \( y \). Таким образом, функция \( y = 2x + 1 \) является взаимно однозначным отображением множества \( D(y) \) на множество \( E(y) \).

2) Теперь рассмотрим функцию \( y = |x| \). Эта функция не является взаимно однозначной, так как одному значению \( y \) могут соответствовать два разных значения \( x \). Например, если \( y = 1 \), то \( x \) может быть равно \( 1 \) или \( -1 \). Выразим \( x \) через \( y \): \( y = |x| \), откуда \( x = \pm y \). Это подтверждает, что для каждого \( y > 0 \) существует два значения \( x \), что нарушает условие взаимной однозначности. Следовательно, функция \( y = |x| \) не является взаимно однозначным отображением.

3) Перейдем к функции \( y = \sqrt{x} \). Эта функция определена для \( x \geq 0 \), и для каждого \( x \) в этой области она принимает единственное значение \( y \geq 0 \). Выразим \( x \) через \( y \): \( y = \sqrt{x} \), откуда \( x = y^2 \). Поскольку \( y \geq 0 \), каждому значению \( y \) соответствует единственное значение \( x \), и наоборот, каждому \( x \geq 0 \) соответствует единственное \( y \). Таким образом, на своей области определения функция \( y = \sqrt{x} \) является взаимно однозначным отображением множества \( D(y) \) на множество \( E(y) \).

Итак, взаимно однозначными отображениями являются функции \( y = 2x + 1 \) и \( y = \sqrt{x} \).