ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Какая из функций является взаимно однозначным отображением множества \( D(y) \) на множество \( E(y) \):

1) \( y = 1 \)

2) \( y = x^2 + 1 \)

3) \( y = 2 \)

1) Функция \( y = 2x + 1 \) является взаимно однозначным отображением, так как для каждого \( y \) существует единственное \( x = \frac{y — 1}{2} \), и наоборот.

2) Функция \( y = |x| \) не является взаимно однозначной, так как одному значению \( y \) соответствуют два значения \( x \) (например, \( y = 1 \) соответствует \( x = 1 \) и \( x = -1 \)).

3) Функция \( y = \sqrt{x} \) является взаимно однозначной на области определения \( x \geq 0 \), так как для каждого \( y \geq 0 \) существует единственное \( x = y^2 \).

Ответ: функции \( y = 2x + 1 \) и \( y = \sqrt{x} \).

Для определения, какая из функций является взаимно однозначным отображением множества \( D(y) \) на множество \( E(y) \), необходимо проверить, является ли каждая функция биективной, то есть инъективной (однозначной) и сюръективной (на). Это означает, что для каждого значения \( y \) из области значений должно существовать единственное значение \( x \) из области определения, и наоборот. Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1) Функция \( y = \frac{1}{x} \). Для этой функции можно выразить \( x \) через \( y \): умножив обе части уравнения на \( x \), получаем \( x y = 1 \), откуда \( x = \frac{1}{y} \). Это выражение показывает, что каждому значению \( y \neq 0 \) соответствует единственное значение \( x \), и каждому \( x \neq 0 \) соответствует единственное \( y \). Таким образом, функция является взаимно однозначной на области определения \( x \neq 0 \) и области значений \( y \neq 0 \). Следовательно, это отображение биективно.

2) Функция \( y = x^2 + 1 \). Попробуем выразить \( x \) через \( y \): вычтем 1 из обеих частей уравнения, получаем \( x^2 = y — 1 \), откуда \( x = \pm \sqrt{y — 1} \). Здесь видно, что для каждого значения \( y > 1 \) существуют два значения \( x \) (положительное и отрицательное), что нарушает условие однозначности. Например, если \( y = 2 \), то \( x = \pm 1 \). Это означает, что функция не является инъективной, а следовательно, не может быть взаимно однозначным отображением.

3) Функция \( y = 2 \). Эта функция константна, то есть принимает единственное значение \( y = 2 \) для всех \( x \). Невозможно выразить \( x \) через \( y \), так как одному значению \( y \) соответствует бесконечное множество значений \( x \). Это нарушает как условие инъективности, так и сюръективности (если область значений \( E(y) \) шире, чем одно значение). Таким образом, эта функция не является взаимно однозначным отображением.

На основании проведенного анализа можно сделать вывод, что только функция под номером 1, то есть \( y = \frac{1}{x} \), удовлетворяет условиям взаимно однозначного отображения множества \( D(y) \) на множество \( E(y) \). Ответ: \( y = \frac{1}{x} \).