Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Каждому многоугольнику поставили в соответствие его периметр. Является ли описанное отображение множества многоугольников на множество положительных действительных чисел взаимно однозначным?
Нет, описанное отображение множества многоугольников на множество положительных действительных чисел не является взаимно однозначным. Различные многоугольники могут иметь одинаковый периметр (например, прямоугольники с разными сторонами, но одинаковой суммой длин сторон), что нарушает условие биективности.
1.14. Каждому многоугольнику поставили в соответствие его периметр. Необходимо определить, является ли такое отображение множества многоугольников на множество положительных действительных чисел взаимно однозначным.
Для начала разберем, что означает взаимно однозначное отображение. Взаимно однозначное отображение, или биекция, между двумя множествами подразумевает, что каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, и наоборот. Это означает, что отображение должно быть одновременно инъективным (разным элементам первого множества соответствуют разные элементы второго множества) и сюръективным (каждый элемент второго множества имеет прообраз в первом множестве).
В данном случае мы рассматриваем множество всех многоугольников и множество положительных действительных чисел, где каждому многоугольнику сопоставляется его периметр, то есть положительное действительное число, выражающее сумму длин всех его сторон. Периметр многоугольника с сторонами длиной \(a_1, a_2, \dots, a_n\) вычисляется как \(P = a_1 + a_2 + \dots + a_n\).
Теперь проверим, является ли это отображение инъективным. Инъективность требует, чтобы разным многоугольникам соответствовали разные периметры. Однако это условие не выполняется. Например, рассмотрим два прямоугольника: один со сторонами \(2\) и \(3\), а другой со сторонами \(1\) и \(4\). Периметр первого равен \(2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 10\), а периметр второго равен \(2 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 10\). Таким образом, два разных многоугольника имеют одинаковый периметр, что нарушает условие инъективности.
Далее рассмотрим сюръективность. Сюръективность требует, чтобы для каждого положительного действительного числа существовал хотя бы один многоугольник с таким периметром. Это условие выполняется, поскольку для любого положительного числа \(P\) можно построить, например, равносторонний треугольник со стороной \(P/3\), и его периметр будет равен \(P\). Таким образом, отображение является сюръективным.
Однако, поскольку отображение не является инъективным, оно не может быть взаимно однозначным. Различные многоугольники могут иметь одинаковый периметр, как показано на примере выше, что исключает возможность биекции между множеством многоугольников и множеством положительных действительных чисел.
Ответ: нет.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.