ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Даны функции \( f(x) = 1 — 3x \) и \( g(x) = x^2 — 1 \). Задайте формулой функцию:

1) \( y = f(x + 1) \)

2) \( y = g(f(x)) \)

3) \( y = f(f(x)) \)

1) \( y = f(x + 1) = 1 — 3(x + 1) = 1 — 3x — 3 = -2 — 3x \). Ответ: \( y = -2 — 3x \).

2) \( y = g(f(x)) = g(1 — 3x) = (1 — 3x)^2 — 1 = 1 — 6x + 9x^2 — 1 = 9x^2 — 6x \). Ответ: \( y = 9x^2 — 6x \).

3) \( y = f(f(x)) = f(1 — 3x) = 1 — 3(1 — 3x) = 1 — 3 + 9x = 9x — 2 \). Ответ: \( y = 9x — 2 \).

Для решения первой задачи нам нужно найти значение функции \( y = f(x + 1) \), где дана функция \( f(x) = 1 — 3x \). Это означает, что мы должны подставить в функцию вместо переменной \( x \) выражение \( x + 1 \). Таким образом, вместо \( x \) в формуле \( f(x) = 1 — 3x \) мы пишем \( x + 1 \), получая новое выражение \( f(x + 1) = 1 — 3(x + 1) \). Теперь необходимо раскрыть скобки, умножив 3 на каждый член внутри скобок, то есть \( 3 \cdot x = 3x \) и \( 3 \cdot 1 = 3 \), что дает нам \( 1 — 3x — 3 \). Далее складываем константы: \( 1 — 3 = -2 \), и получаем итоговое выражение \( y = -2 — 3x \). Это и есть ответ для первой части задачи, который показывает, как функция сдвигается при изменении аргумента на единицу. Мы видим, что результатом является линейная функция, которая имеет тот же наклон, что и исходная, но сдвинута по оси \( y \).

Во второй задаче требуется найти композицию функций \( y = g(f(x)) \), где \( f(x) = 1 — 3x \), а \( g(x) = x^2 — 1 \). Композиция означает, что мы сначала вычисляем значение внутренней функции \( f(x) \), а затем подставляем это значение в качестве аргумента во внешнюю функцию \( g \). Начнем с вычисления \( f(x) \), которое равно \( 1 — 3x \). Теперь это выражение становится аргументом для функции \( g \), то есть мы пишем \( g(1 — 3x) \). Согласно определению функции \( g(x) = x^2 — 1 \), подставляем вместо \( x \) выражение \( 1 — 3x \), получая \( g(1 — 3x) = (1 — 3x)^2 — 1 \). Далее раскрываем квадрат двучлена \( (1 — 3x)^2 \), используя формулу \( (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2 \), где \( a = 1 \), а \( b = 3x \). Это дает нам \( 1^2 — 2 \cdot 1 \cdot 3x + (3x)^2 = 1 — 6x + 9x^2 \). Теперь вычитаем 1, как указано в функции \( g \): \( 1 — 6x + 9x^2 — 1 = 9x^2 — 6x \). Таким образом, итоговое выражение для \( y = g(f(x)) \) равно \( 9x^2 — 6x \). Этот результат показывает, что композиция линейной и квадратичной функции дает квадратичную функцию, что логично, так как внешняя функция определяет общий вид результата.

Третья задача требует найти композицию функции самой с собой, то есть \( y = f(f(x)) \), где \( f(x) = 1 — 3x \). Это означает, что мы берем результат функции \( f(x) \) и снова подставляем его в качестве аргумента в ту же функцию \( f \). Сначала вычислим внутреннюю функцию: \( f(x) = 1 — 3x \). Теперь этот результат становится новым аргументом для функции \( f \), то есть мы пишем \( f(1 — 3x) \). Согласно определению функции \( f \), подставляем \( 1 — 3x \) вместо \( x \): \( f(1 — 3x) = 1 — 3(1 — 3x) \). Раскроем скобки внутри выражения: умножим 3 на каждый член в скобках, то есть \( 3 \cdot 1 = 3 \) и \( 3 \cdot (-3x) = -9x \), что дает \( 1 — 3 + 9x \). Сложим константы: \( 1 — 3 = -2 \), и получим итоговое выражение \( 9x — 2 \). Таким образом, ответ для этой части задачи — \( y = 9x — 2 \). Этот результат интересен тем, что показывает, как повторное применение линейной функции усиливает коэффициент при \( x \), что соответствует умножению наклона исходной функции на саму себя. Мы видим, что результат остается линейной функцией, что ожидаемо, поскольку композиция линейных функций всегда дает линейную функцию.