ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Даны функции \( f(x) = \sqrt{x + 1} \) и \( g(x) = x^2 — 2x \). Задайте формулой функцию:

1) \( y = g(-x) \)

2) \( y = f(g(x)) \)

3) \( y = g(g(x)) \)

1) \( y = g(-x) = (-x)^2 — 2(-x) = x^2 + 2x \).
Ответ: \( y = x^2 + 2x \).

2) \( y = f(g(x)) = f(x^2 — 2x) = \sqrt{(x^2 — 2x) + 1} = \sqrt{x^2 — 2x + 1}=\)
\( = \sqrt{(x — 1)^2} = |x — 1| \).
Ответ: \( y = |x — 1| \).

3) \(g(x)=x^2-2x\). Составим композицию: \(y=g(g(x))=g(x^2-2x)=(x^2-2x)^2-2(x^2-2x)\).

\(Раскрываем: (x^2-2x)^2-2(x^2-2x)=(x^2-2x)\big((x^2-2x)-2\big)=\)
\(=(x^2-2x)(x^2-2x-2)\).

Факторизуем первый множитель: \( x^2-2x=x(x-2)\). Тогда \(y=x(x-2)(x^2-2x-2)\).

1) Начнем с преобразования \(y=g(-x)\) для функции \(g(x)=x^{2}-2x\). Подстановка аргумента \(-x\) означает, что в исходной формуле каждое вхождение \(x\) заменяется на \(-x\). Запишем: \(g(-x)=(-x)^{2}-2(-x)\). Поскольку \((-x)^{2}=x^{2}\) (квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного), а также \(-2(-x)=2x\) (произведение двух отрицательных даёт положительное), получаем упрощённое выражение \(g(-x)=x^{2}+2x\). Это преобразование эквивалентно отражению графика функции \(g(x)\) относительно оси \(Oy\), что на уровне алгебраической записи проявляется в изменении знака у линейного члена: у \(x^{2}-2x\) он становится \(+2x\). Таким образом, окончательный ответ для первого пункта: \(y=x^{2}+2x\). Дополнительно можно заметить, что вершина параболы \(y=x^{2}-2x\) находится при \(x=1\), а у \(y=x^{2}+2x\) — при \(x=-1\), что также соответствует зеркальному отражению по оси \(Oy\).

2) Перейдём к композиции \(y=f(g(x))\), где \(f(x)=\sqrt{x+1}\) и \(g(x)=x^{2}-2x\). Подстановка даёт \(f(g(x))=\sqrt{g(x)+1}=\sqrt{(x^{2}-2x)+1}=\sqrt{x^{2}-2x+1}\). Заметим, что выражение под корнем является полным квадратом: \(x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}\). Тогда \(\sqrt{(x-1)^{2}}=|x-1|\), поскольку арифметический квадратный корень по определению неотрицателен и равен модулю выражения, стоящего под квадратом. Следовательно, \(f(g(x))=|x-1|\). Это равенство верно для всех \(x\), для которых определена композиция. Область определения композиции определяется областью определения \(g\) (все действительные числа) и условием \(x^{2}-2x+1\ge 0\) для \(f\). Поскольку \(x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}\ge 0\) для любых \(x\), область определения композиции — все действительные числа, и итоговая функция \(y=|x-1|\) корректна на всей прямой.

Важно подчеркнуть, почему нельзя упростить \(\sqrt{(x-1)^{2}}\) до \(x-1\) без модуля. Выражение \(\sqrt{(x-1)^{2}}\) равно \(x-1\) лишь при \(x\ge 1\), потому что в этой области \(x-1\ge 0\). При \(x<1\) верно \(\sqrt{(x-1)^{2}}=-(x-1)=1-x\), чтобы результат оставался неотрицательным. Поэтому корректная запись результата через модуль: \(y=|x-1|\). Эквивалентная покусочная форма: \(y=x-1\) при \(x\ge 1\) и \(y=1-x\) при \(x<1\). Геометрически это означает, что композиция превращает параболу \(g(x)\) с вершиной в точке \((1,0)\) в V-образную ломаную, симметричную относительно вертикали \(x=1\), поскольку операция квадратного корня от квадрата реализует «склейку» значений по модулю относительно линии минимума.

3) Начинаем с заданной функции \(g(x)=x^{2}-2x\). Требуется найти композицию \(g(g(x))\), то есть сначала подставляем \(x\) в \(g\), а затем результат снова подставляем в \(g\). Композиция записывается как \(y=g(g(x))\). Подстановка аргумента \(x^{2}-2x\) в функцию \(g\) даёт выражение \(y=g(x^{2}-2x)=(x^{2}-2x)^{2}-2(x^{2}-2x)\). Здесь важно отметить, что квадрат берётся от всего бинома \(x^{2}-2x\), а затем из полученного результата вычитается удвоенный тот же бином, поскольку по определению функции \(g(u)=u^{2}-2u\) для любого аргумента \(u\), и в нашем случае \(u=x^{2}-2x\).

Далее упростим выражение, вынеся общий множитель \(x^{2}-2x\). Замечаем, что обе части \( (x^{2}-2x)^{2} \) и \( -2(x^{2}-2x) \) содержат множитель \(x^{2}-2x\). Применяем распределительный закон: \((x^{2}-2x)^{2}-2(x^{2}-2x)=(x^{2}-2x)\big((x^{2}-2x)-2\big)\). Внутри скобок получаем \(x^{2}-2x-2\), то есть \(y=(x^{2}-2x)(x^{2}-2x-2)\). Это представление полезно, так как показывает структуру произведения и облегчает дальнейшую факторизацию, если она возможна.

Заметим, что первый множитель \(x^{2}-2x\) раскладывается на линейные множители как \(x(x-2)\), поскольку это стандартное вынесение общего множителя \(x\): \(x^{2}-2x=x(x-2)\). Подставляя это в выражение для \(y\), получаем \(y=x(x-2)(x^{2}-2x-2)\). Второй множитель \(x^{2}-2x-2\) не раскладывается на целочисленные линейные множители, так как дискриминант равен \(D=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot (-2)=4+8=12\), корни \(x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}=1\pm\sqrt{3}\), и потому факторизация над рациональными числами не упрощает запись. Итоговый аккуратно упрощённый вид композиции: \(y=x(x-2)(x^{2}-2x-2)\).