ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Даны функции \( f(x) = \sqrt{x + 1} \) и \( g(x) = x^2 — 2x \). Задайте формулой функцию:

1) \( y = g(-x) \)

2) \( y = f(g(x)) \)

3) \( y = g(g(x)) \)

1) \( y = g(-x) = (-x)^2 — 2(-x) = x^2 + 2x \).
Ответ: \( y = x^2 + 2x \).

2) \( y = f(g(x)) = f(x^2 — 2x) = \sqrt{(x^2 — 2x) + 1} = \sqrt{x^2 — 2x + 1}=\)
\( = \sqrt{(x — 1)^2} = |x — 1| \).
Ответ: \( y = |x — 1| \).

3) \( y = g(g(x)) = g(x^2 — 2x) = (x^2 — 2x)^2 — 2(x^2 — 2x) = x^4 — 4x^3 + 4x^2 -\)
\(- 2x^2 + 4x = x^4 — 4x^3 + 2x^2 + 4x \).
Ответ: \( y = x^4 — 4x^3 + 2x^2 + 4x \).

1) Для нахождения функции \( y = g(-x) \) подставим в заданную функцию \( g(x) = x^2 — 2x \) аргумент \( -x \). Получаем \( g(-x) = (-x)^2 — 2(-x) \). Вычислим это выражение: \( (-x)^2 = x^2 \), а \( -2(-x) = 2x \). Таким образом, \( g(-x) = x^2 + 2x \).
Ответ: \( y = x^2 + 2x \).

2) Для нахождения функции \( y = f(g(x)) \) необходимо подставить функцию \( g(x) = x^2 — 2x \) в качестве аргумента в функцию \( f(x) = \sqrt{x + 1} \). Получаем \( f(g(x)) = f(x^2 — 2x) = \sqrt{(x^2 — 2x) + 1} \). Упростим выражение под корнем: \( x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 \). Тогда \( \sqrt{(x — 1)^2} = |x — 1| \), так как корень из квадрата дает модуль.
Ответ: \( y = |x — 1| \).

3) Для нахождения функции \( y = g(g(x)) \) подставим функцию \( g(x) = x^2 — 2x \) в саму себя, то есть вычислим \( g(x^2 — 2x) \). По определению \( g \) имеем \( g(x^2 — 2x) = (x^2 — 2x)^2 — 2(x^2 — 2x) \). Раскроем скобки: сначала \( (x^2 — 2x)^2 = x^4 — 4x^3 + 4x^2 \), затем \( -2(x^2 — 2x) = -2x^2 + 4x \). Сложим все вместе: \( x^4 — 4x^3 + 4x^2 — 2x^2 + 4x = x^4 — 4x^3 + 2x^2 + 4x \).
Ответ: \( y = x^4 — 4x^3 + 2x^2 + 4x \).