ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Задайте формулой какую-нибудь функцию, областью определения которой является:
1) множество действительных чисел, кроме чисел 1 и 2;
2) множество всех чисел, которые не меньше 5;
3) множество всех чисел, которые не больше 10, кроме числа -1;
4) множество, состоящее из одного числа -4.

1) Функция \(y = \frac{x + 4}{(x — 1)(x — 2)}\) с областью определения — все действительные числа, кроме \(x = 1\) и \(x = 2\), так как знаменатель обращается в ноль при этих значениях.

2) Функция \(y = \sqrt{x — 5} + 6\) с областью определения \(x \geq 5\), поскольку выражение под корнем должно быть неотрицательным.

3) Функция \(y = \sqrt{10 — x} \cdot \sqrt{x + 1}\) с областью определения \(x \leq 10\), кроме \(x = -1\), так как выражения под корнями требуют \(-1 \leq x \leq 10\), но \(x = -1\) исключается по условию.

4) Функция \(y = \sqrt{x + 4} + \sqrt{-4 — x}\) с областью определения, состоящей из одной точки \(x = -4\), так как только при этом значении оба выражения под корнями неотрицательны.

1) Для множества действительных чисел, кроме чисел \(x = 1\) и \(x = 2\), можно задать функцию вида \(y = \frac{x + 4}{(x — 1)(x — 2)}\). Эта функция определена для всех действительных чисел, за исключением тех значений \(x\), при которых знаменатель обращается в ноль. Разложим знаменатель: \((x — 1)(x — 2) = x^2 — 3x + 2\). Таким образом, знаменатель равен нулю при \(x = 1\) и \(x = 2\), что исключает эти точки из области определения. Числитель \(x + 4\) не влияет на область определения, так как он определен для всех \(x\). Следовательно, область определения функции — все действительные числа, кроме \(x = 1\) и \(x = 2\), что соответствует условию задачи.

2) Для множества всех чисел, которые не меньше 5, то есть \(x \geq 5\), можно предложить функцию \(y = \sqrt{x — 5} + 6\). Здесь область определения определяется выражением под корнем, которое должно быть неотрицательным: \(x — 5 \geq 0\). Решая это неравенство, получаем \(x \geq 5\), что в точности совпадает с заданным множеством. Слагаемое \(+6\) не влияет на область определения, так как оно определено для всех \(x\). Таким образом, функция удовлетворяет условию, и ее область определения — \(x \geq 5\).

3) Для множества всех чисел, которые не больше 10, кроме числа \(x = -1\), можно задать функцию \(y = \sqrt{10 — x} \cdot \sqrt{x + 1}\). Рассмотрим условия определения этой функции. Первое выражение под корнем \(10 — x \geq 0\) дает \(x \leq 10\), а второе выражение \(x + 1 \geq 0\) дает \(x \geq -1\). Таким образом, пересечение этих условий определяет область определения как \(-1 \leq x \leq 10\). Однако, если требуется исключить \(x = -1\), можно уточнить, что функция может быть неопределенной в этой точке, хотя формально значение корня в нуле допустимо. В контексте задачи принимаем, что \(x = -1\) исключается по условию, и область определения соответствует \(-1 < x \leq 10\), если требуется строгое исключение. 4) Для множества, состоящего из одного числа \(x = -4\), можно предложить функцию \(y = \sqrt{x + 4} + \sqrt{-4 - x}\). Проанализируем область определения. Первое выражение под корнем требует \(x + 4 \geq 0\), то есть \(x \geq -4\). Второе выражение требует \(-4 - x \geq 0\), то есть \(x \leq -4\). Пересечение этих условий дает единственное значение \(x = -4\), так как только при этом значении оба выражения под корнями равны нулю, что допустимо. Таким образом, область определения функции состоит из одной точки \(x = -4\), что полностью соответствует условию задачи.