ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область определения функции и постройте её график:
1) \( f(x) = 2^{-16x + 4} \)
2) \( f(x) = \frac{12x — 72}{x^2 — 6x} \)
3) \( f(x) = \frac{x^2 — 9}{x^2 — 9} \)

1) Для функции \(f(x)=\frac{x^2-16}{x+4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4\) требуется, чтобы знаменатель не обращался в ноль: \(x+4\neq 0\Rightarrow x\neq -4\).

Область определения: \(D(f)=(-\infty,-4)\cup(-4,+\infty)\).

График: прямая \(y=x-4\) с выколотой точкой при \(x=-4\), то есть точка \((-4,-8)\) не принадлежит графику.

2) Для функции \( f(x) = \frac{12x — 72}{x^2 — 6x} \) область определения исключает значения, при которых знаменатель равен нулю. Решаем \( x^2 — 6x = 0 \), то есть \( x(x — 6) = 0 \), откуда \( x = 0 \) или \( x = 6 \).

Ответ: \( D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 6) \cup (6; +\infty) \).

3) Для функции \( f(x) = \frac{x^2 — 9}{x^2 — 9} \) числитель и знаменатель равны, но область определения исключает значения, при которых знаменатель равен нулю. Решаем \( x^2 — 9 = 0 \), то есть \( x = \pm 3 \).

Ответ: \( D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty) \).бластью определения, состоящей из одной точки \(x = -4\), так как только при этом значении оба выражения под корнями неотрицательны.

1) Функция задана выражением \(f(x)=\frac{x^2-16}{x+4}\). Числитель раскладывается по формуле разности квадратов: \(x^2-16=(x-4)(x+4)\). Тогда \(f(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}\). Сокращение множителя \(x+4\) возможно только при условии, что знаменатель не равен нулю. Поэтому указываем ограничение: \(x+4\neq 0\), то есть \(x\neq -4\). После сокращения получаем упрощённую запись функции \(f(x)=x-4\), но важно помнить, что точка \(x=-4\) исключена из области определения, так как исходная форма имела нулевой знаменатель.

Область определения состоит из всех действительных чисел, кроме \(x=-4\): \(D(f)=(-\infty,-4)\cup(-4,+\infty)\). Это означает, что функция определена на двух интервалах, разделённых точкой разрыва первого рода. Никаких других ограничений нет, так как многочлен в числителе определён при всех \(x\), а единственная проблема возникает из-за знаменателя \(x+4\). Следовательно, множество недопустимых значений равно \(\{-4\}\), а множество допустимых значений есть дополнение к этой точке в \(\mathbb{R}\).

График строится как прямая \(y=x-4\) со стандартным угловым коэффициентом \(1\) и сдвигом вниз на \(4\). Однако точка, соответствующая запрещённому \(x=-4\), должна быть удалена: при подстановке в упрощённую форму получается значение \(y=-8\), но исходная функция там не определена. Поэтому на линии \(y=x-4\) отмечаем выколотую точку \((-4,-8)\). В итоге график совпадает с прямой \(y=x-4\) на всех \(x\neq -4\), имеет разрыв в точке \(x=-4\), и значения функции в этой точке \(\emptyset\).

2) Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{12x — 72}{x^2 — 6x} \). Для определения области определения необходимо найти значения \( x \), при которых знаменатель равен нулю, так как деление на ноль невозможно. Знаменатель \( x^2 — 6x = x(x — 6) \), и он равен нулю при \( x = 0 \) или \( x = 6 \). Эти значения исключаются из области определения.

Область определения: \( D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 6) \cup (6; +\infty) \).

Для построения графика упростим выражение. Числитель \( 12x — 72 = 12(x — 6) \), а знаменатель \( x^2 — 6x = x(x — 6) \). Таким образом, для \( x \neq 0 \) и \( x \neq 6 \) функция принимает вид \( f(x) = \frac{12(x — 6)}{x(x — 6)} = \frac{12}{x} \). Это гипербола с асимптотами \( x = 0 \) и \( y = 0 \), но с разрывами в точках \( x = 0 \) и \( x = 6 \). На интервале \( (-\infty; 0) \) функция возрастает от 0 к \( -\infty \), на интервале \( (0; 6) \) — убывает от \( +\infty \) к \( 2 \), а на интервале \( (6; +\infty) \) — возрастает от 2 к 0.

3) Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{x^2 — 9}{x^2 — 9} \). На первый взгляд, числитель и знаменатель одинаковы, и кажется, что функция равна 1. Однако область определения определяется значениями, при которых знаменатель не равен нулю. Решаем уравнение \( x^2 — 9 = 0 \), откуда \( x = \pm 3 \). Эти значения исключаются из области определения.

Область определения: \( D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty) \).

Для построения графика заметим, что для всех \( x \), не равных \( \pm 3 \), функция \( f(x) = 1 \). Таким образом, график представляет собой горизонтальную прямую \( y = 1 \), но с разрывами в точках \( x = -3 \) и \( x = 3 \). Это означает, что график состоит из трёх частей: на интервале \( (-\infty; -3) \), \( (-3; 3) \) и \( (3; +\infty) \), где значение функции постоянно равно 1, но в точках \( x = \pm 3 \) функция не определена.