ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область определения функции и постройте её график:
1) \( f(x) = 2^{-16x + 4} \)
2) \( f(x) = \frac{12x — 72}{x^2 — 6x} \)
3) \( f(x) = \frac{x^2 — 9}{x^2 — 9} \)

1) Для функции \( f(x) = 2^{-16x + 4} \) область определения — все действительные числа, так как показательная функция определена для любого \( x \). График — убывающая экспонента, смещённая по оси \( x \).

Ответ: \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).

2) Для функции \( f(x) = \frac{12x — 72}{x^2 — 6x} \) область определения исключает значения, при которых знаменатель равен нулю. Решаем \( x^2 — 6x = 0 \), то есть \( x(x — 6) = 0 \), откуда \( x = 0 \) или \( x = 6 \).

Ответ: \( D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 6) \cup (6; +\infty) \).

3) Для функции \( f(x) = \frac{x^2 — 9}{x^2 — 9} \) числитель и знаменатель равны, но область определения исключает значения, при которых знаменатель равен нулю. Решаем \( x^2 — 9 = 0 \), то есть \( x = \pm 3 \).

Ответ: \( D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty) \).бластью определения, состоящей из одной точки \(x = -4\), так как только при этом значении оба выражения под корнями неотрицательны.

1) Рассмотрим функцию \( f(x) = 2^{-16x + 4} \). Для определения области определения функции необходимо учитывать, что показательная функция с основанием 2 определена для всех действительных чисел. В данном случае показатель \( -16x + 4 \) является линейной функцией, которая также определена для всех \( x \). Таким образом, никаких ограничений на область определения нет.

Область определения: \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).

Теперь обсудим график функции. Функция \( f(x) = 2^{-16x + 4} \) может быть переписана как \( f(x) = 2^{4 — 16x} = 16 \cdot 2^{-16x} \). Это убывающая экспоненциальная функция, так как показатель имеет отрицательный коэффициент при \( x \). При \( x = 0 \) значение функции равно \( f(0) = 2^{4} = 16 \). С увеличением \( x \) значение \( -16x \) уменьшается, что приводит к уменьшению значения функции, стремящегося к 0. При уменьшении \( x \) (в сторону отрицательных значений) значение функции возрастает, стремясь к бесконечности. График проходит через точку \( (0, 16) \) и асимптотически приближается к оси \( x \) при \( x \to +\infty \).

2) Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{12x — 72}{x^2 — 6x} \). Для определения области определения необходимо найти значения \( x \), при которых знаменатель равен нулю, так как деление на ноль невозможно. Знаменатель \( x^2 — 6x = x(x — 6) \), и он равен нулю при \( x = 0 \) или \( x = 6 \). Эти значения исключаются из области определения.

Область определения: \( D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 6) \cup (6; +\infty) \).

Для построения графика упростим выражение. Числитель \( 12x — 72 = 12(x — 6) \), а знаменатель \( x^2 — 6x = x(x — 6) \). Таким образом, для \( x \neq 0 \) и \( x \neq 6 \) функция принимает вид \( f(x) = \frac{12(x — 6)}{x(x — 6)} = \frac{12}{x} \). Это гипербола с асимптотами \( x = 0 \) и \( y = 0 \), но с разрывами в точках \( x = 0 \) и \( x = 6 \). На интервале \( (-\infty; 0) \) функция возрастает от 0 к \( -\infty \), на интервале \( (0; 6) \) — убывает от \( +\infty \) к \( 2 \), а на интервале \( (6; +\infty) \) — возрастает от 2 к 0.

3) Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{x^2 — 9}{x^2 — 9} \). На первый взгляд, числитель и знаменатель одинаковы, и кажется, что функция равна 1. Однако область определения определяется значениями, при которых знаменатель не равен нулю. Решаем уравнение \( x^2 — 9 = 0 \), откуда \( x = \pm 3 \). Эти значения исключаются из области определения.

Область определения: \( D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty) \).

Для построения графика заметим, что для всех \( x \), не равных \( \pm 3 \), функция \( f(x) = 1 \). Таким образом, график представляет собой горизонтальную прямую \( y = 1 \), но с разрывами в точках \( x = -3 \) и \( x = 3 \). Это означает, что график состоит из трёх частей: на интервале \( (-\infty; -3) \), \( (-3; 3) \) и \( (3; +\infty) \), где значение функции постоянно равно 1, но в точках \( x = \pm 3 \) функция не определена.