ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область определения функции и постройте её график:

1) \( f(x) = \frac{x + 2}{x^2 + 4x + 4} \)

2) \( f(x) = 1 \)

1) Для функции \( f(x) = \frac{x + 2}{x^2 + 4x + 4} \) область определения определяется исключением точек, где знаменатель равен нулю. Знаменатель \( x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \), корень \( x = -2 \). Таким образом, область определения: \( D(f) = (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty) \). График функции после упрощения \( f(x) = \frac{1}{x + 2} \) (при \( x \neq -2 \)) представляет собой гиперболу с асимптотами \( x = -2 \) и \( y = 0 \), с разрывом в точке \( x = -2 \).

2) Для функции \( f(x) = 1 \) область определения — все вещественные числа, так как нет ограничений: \( D(f) = (-\infty, +\infty) \). График функции — горизонтальная прямая \( y = 1 \).

1) Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{x + 2}{x^2 + 4x + 4} \). Для нахождения области определения функции необходимо определить значения \( x \), при которых выражение под знаком дроби определено, то есть знаменатель не должен быть равен нулю. Разложим знаменатель на множители: \( x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \). Таким образом, знаменатель равен нулю при \( x + 2 = 0 \), то есть при \( x = -2 \). Это значение исключается из области определения. Следовательно, область определения функции: \( D(f) = (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty) \).

Теперь упростим выражение функции. Заметим, что числитель \( x + 2 \) и знаменатель \( (x + 2)^2 \) имеют общий множитель \( x + 2 \). При \( x \neq -2 \) можно сократить: \( f(x) = \frac{x + 2}{(x + 2)^2} = \frac{1}{x + 2} \). Таким образом, функция принимает вид \( f(x) = \frac{1}{x + 2} \) с разрывом в точке \( x = -2 \).

Для построения графика рассмотрим поведение функции \( f(x) = \frac{1}{x + 2} \). Это гипербола, сдвинутая влево на 2 единицы относительно стандартной гиперболы \( y = \frac{1}{x} \). Вертикальная асимптота находится в точке \( x = -2 \), так как при приближении \( x \) к \(-2\) слева или справа значение функции стремится к \( +\infty \) или \( -\infty \). Горизонтальная асимптота — \( y = 0 \), так как при \( x \to \pm\infty \) значение \( f(x) \to 0 \). График имеет разрыв в точке \( x = -2 \), где функция не определена.

2) Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{1}{x^2} \). Для нахождения области определения необходимо исключить значения \( x \), при которых знаменатель равен нулю. Знаменатель \( x^2 = 0 \) при \( x = 0 \). Таким образом, область определения функции: \( D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \).

Теперь проанализируем поведение функции для построения графика. Функция \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) определена для всех \( x \neq 0 \). Это четная функция, так как \( f(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = f(x) \), следовательно, график симметричен относительно оси \( y \). При \( x \to 0^+ \) или \( x \to 0^- \), значение \( f(x) \to +\infty \), то есть вертикальная асимптота — \( x = 0 \). При \( x \to \pm\infty \), значение \( f(x) \to 0 \), то есть горизонтальная асимптота — \( y = 0 \). График функции представляет собой две ветви, расположенные в первой и второй четвертях, симметричные относительно оси \( y \), с разрывом в точке \( x = 0 \).