ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Каждому натуральному числу, которое больше 10, но меньше 20,
поставили в соответствие остаток от деления этого числа на 5.
1) Каким способом задана эта функция?
2) Какова область значений этой функции?
3) Задайте эту функцию таблично.

Объяснение: Функция \( f(x) = [x] \) обозначает целую часть числа, то есть наибольшее целое число, не превышающее \( x \). Для \( x = 3,2 \) целая часть равна 3, а для \( x = -3,2 \) целая часть равна -4. Функция \( \phi(x) = D(x) \) обозначает дробную часть числа, которая вычисляется как \( x — [x] \). Для \( x = 3,2 \) дробная часть равна \( 3,2 — 3 = 0,2 \), а для \( x = -3,2 \) дробная часть равна \( -3,2 — (-4) = 0,8 \).

1. Для понимания задачи необходимо разобраться в функциях, которые заданы в таблице. Функция \( f(x) = [x] \) обозначает целую часть числа \( x \), то есть наибольшее целое число, которое не превышает значение \( x \). Например, если \( x = 3,2 \), то \( [x] = 3 \), а если \( x = -3,2 \), то \( [x] = -4 \), поскольку это наибольшее целое число меньше или равно \( -3,2 \).

2. Функция \( g(x) = \{x\} \) представляет собой дробную часть числа \( x \). Она вычисляется по формуле \( \{x\} = x — [x] \). Это означает, что дробная часть всегда находится в диапазоне от 0 до 1 (не включая 1). Например, для \( x = 3,2 \) дробная часть будет \( 3,2 — 3 = 0,2 \), а для \( x = -3,2 \) дробная часть будет \( -3,2 — (-4) = 0,8 \).

3. Функция \( \phi(x) = D(x) \) в данном контексте, судя по данным таблицы, также обозначает дробную часть числа, то есть \( D(x) = \{x\} \). Таким образом, значения для \( \phi(x) \) совпадают со значениями \( g(x) \), и мы будем использовать их как дробную часть числа \( x \).

4. Теперь рассмотрим значение \( x = 3,2 \). Целая часть \( [3,2] = 3 \), так как 3 — это наибольшее целое число, не превышающее 3,2. Дробная часть \( \{3,2\} = 3,2 — 3 = 0,2 \). Следовательно, \( f(3,2) = 3 \), \( g(3,2) = 0,2 \), и \( \phi(3,2) = 0,2 \).

5. Для \( x = -3,2 \) целая часть \( [-3,2] = -4 \), поскольку -4 — это наибольшее целое число, меньшее или равное -3,2. Дробная часть \( \{-3,2\} = -3,2 — (-4) = -3,2 + 4 = 0,8 \). Таким образом, \( f(-3,2) = -4 \), \( g(-3,2) = 0,8 \), и \( \phi(-3,2) = 0,8 \).

6. Для \( x = 1 \) целая часть \( [1] = 1 \), так как число уже целое. Дробная часть \( \{1\} = 1 — 1 = 0 \). Следовательно, \( f(1) = 1 \), \( g(1) = 0 \), и \( \phi(1) = 0 \).

7. Для \( x = \sqrt{3} \), где \( \sqrt{3} \approx 1,732 \), целая часть \( [\sqrt{3}] = 1 \), так как 1 — наибольшее целое число, меньшее 1,732. Дробная часть \( \{\sqrt{3}\} = \sqrt{3} — 1 \approx 0,732 \). Таким образом, \( f(\sqrt{3}) = 1 \), \( g(\sqrt{3}) = \sqrt{3} — 1 \), и \( \phi(\sqrt{3}) = \sqrt{3} — 1 \).

8. Для \( x = -\sqrt{3} \), где \( -\sqrt{3} \approx -1,732 \), целая часть \( [-\sqrt{3}] = -2 \), так как -2 — наибольшее целое число, меньшее или равное -1,732. Дробная часть \( \{-\sqrt{3}\} = -\sqrt{3} — (-2) = -\sqrt{3} + 2 \approx -1,732 + 2 = 0,268 \). Следовательно, \( f(-\sqrt{3}) = -2 \), \( g(-\sqrt{3}) = 2 — \sqrt{3} \), и \( \phi(-\sqrt{3}) = 2 — \sqrt{3} \).

9. Итоговые значения представлены в таблице ниже. Все вычисления выполнены с учетом правил для целой и дробной частей чисел, а также особенностей положительных и отрицательных значений аргумента \( x \).

10. Все значения в таблице соответствуют заданным данным и примерам. Если в будущем потребуется уточнение для других значений \( x \), можно применить те же правила вычисления целой и дробной частей.