ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Функция \( f \) задана описательно: каждому целому числу поставлен в соответствие остаток от деления этого числа на 3. Найдите \( f(2) \), \( f(0) \), \( f(-17) \), \( f(21) \). Найдите \( E(f) \). Докажите, что \( f(x) = f(x + 3) \) для любого \( x \in \mathbb{Z} \).

1. \( f(2) = 2 \), так как остаток от деления 2 на 3 равен 2.
\( f(0) = 0 \), так как остаток от деления 0 на 3 равен 0.
\( f(-17) = 1 \), так как \(-17 = 3 \cdot (-6) + 1\), остаток 1.
\( f(21) = 0 \), так как остаток от деления 21 на 3 равен 0.

2. \( E(f) = \{0, 1, 2\} \), так как остатки при делении на 3 могут быть только 0, 1 или 2.

3. Доказательство: пусть \( x = 3n + k \), где \( n \in \mathbb{Z} \), \( k \in \{0, 1, 2\} \). Тогда \( f(x) = f(3n + k) = k \), а \( x + 3 = 3(n + 1) + k \), следовательно, \( f(x + 3) = k = f(x) \). Значит, \( f(x) = f(x + 3) \) для любого \( x \in \mathbb{Z} \).

1. Найдем значения функции \( f \) для заданных аргументов, учитывая, что функция возвращает остаток от деления числа на 3. Для \( f(2) \): число 2 при делении на 3 дает остаток 2, так как \( 2 = 3 \cdot 0 + 2 \). Следовательно, \( f(2) = 2 \). Для \( f(0.3 + 2) \), что равно \( f(2.3) \), но поскольку в условии указано, что функция определена для целых чисел, мы рассматриваем только целую часть или контекст из примера, где \( f(2.3) \) не учитывается, и остается \( f(2) = 2 \).

Для \( f(0) \): число 0 при делении на 3 дает остаток 0, так как \( 0 = 3 \cdot 0 + 0 \). Следовательно, \( f(0) = 0 \). В контексте примера \( f(0 + 3 + 0) = f(3) \), но \( f(3) = 0 \), что совпадает с \( f(0) = 0 \).

Для \( f(-17) \): число \(-17\) при делении на 3 можно представить как \( -17 = 3 \cdot (-6) + 1 \), где остаток равен 1 (так как остаток всегда неотрицательный и меньше делителя). Следовательно, \( f(-17) = 1 \). В примере указано \( f(-6.3 + 1) \), но это, вероятно, опечатка, и мы придерживаемся вычисления для \(-17\), что дает \( f(-17) = 1 \).

Для \( f(21) \): число 21 при делении на 3 дает остаток 0, так как \( 21 = 3 \cdot 7 + 0 \). Следовательно, \( f(21) = 0 \). В примере \( f(7 \cdot 3 + 0) = f(21) = 0 \), что совпадает с нашим результатом.

2. Определим область значений функции \( E(f) \). Поскольку функция \( f \) возвращает остаток от деления на 3, возможные значения остатка могут быть только 0, 1 или 2. Это следует из того, что любое целое число при делении на 3 оставляет один из этих остатков. Таким образом, множество значений функции состоит из всех возможных остатков, то есть \( E(f) = \{0, 1, 2\} \).

3. Докажем, что \( f(x) = f(x + 3) \) для любого \( x \in \mathbb{Z} \). Представим произвольное целое число \( x \) в виде \( x = 3n + k \), где \( n \in \mathbb{Z} \) — целое число, а \( k \in \{0, 1, 2\} \) — остаток от деления \( x \) на 3. Тогда, по определению функции, \( f(x) = f(3n + k) = k \).

Теперь рассмотрим \( x + 3 \). Это число можно записать как \( x + 3 = (3n + k) + 3 = 3n + 3 + k = 3(n + 1) + k \), где \( n + 1 \) также является целым числом, а остаток остается тем же — \( k \). Следовательно, \( f(x + 3) = f(3(n + 1) + k) = k \).

Таким образом, \( f(x) = k \) и \( f(x + 3) = k \), что означает \( f(x) = f(x + 3) \) для любого целого \( x \). Это доказывает, что функция периодична с периодом 3, и утверждение выполняется. Что и требовалось доказать.