ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Функция \( g \) задана описательно: каждому целому числу поставлен в соответствие остаток от деления этого числа на 4. Найдите \( g(3) \), \( g(0) \), \( g(-21) \), \( g(32) \). Найдите \( E(g) \). Докажите, что \( g(x) = g(x + 4) \) для любого \( x \in \mathbb{Z} \).

1. \( g(3) = 3 \), так как остаток от деления 3 на 4 равен 3.
\( g(0) = 0 \), так как остаток от деления 0 на 4 равен 0.
\( g(-21) = 3 \), так как \(-21 = -6 \cdot 4 + 3\), остаток 3.
\( g(32) = 0 \), так как \(32 = 8 \cdot 4 + 0\), остаток 0.

2. \( E(g) = \{0, 1, 2, 3\} \), так как остатки от деления на 4 могут быть только 0, 1, 2 или 3.

3. Пусть \( x = 4n + k \), где \( n \in \mathbb{Z} \), \( k \in \{0, 1, 2, 3\} \). Тогда \( g(x) = g(4n + k) = k \), а \( g(x + 4) = g(4n + k + 4) = g(4(n + 1) + k) = k \). Следовательно, \( g(x) = g(x + 4) \) для любого \( x \in \mathbb{Z} \).

1. Значения функции:
Рассмотрим функцию \( g \), которая каждому целому числу ставит в соответствие остаток от деления этого числа на 4. Для вычисления значений функции для заданных аргументов проведем деление каждого числа на 4 и определим остаток.
— Для \( g(3) \): число 3 делим на 4, получаем частное 0 и остаток 3, то есть \( 3 = 0 \cdot 4 + 3 \). Следовательно, \( g(3) = 3 \).
— Для \( g(0) \): число 0 делим на 4, частное равно 0, остаток также 0, то есть \( 0 = 0 \cdot 4 + 0 \). Следовательно, \( g(0) = 0 \).
— Для \( g(-21) \): число \(-21\) делим на 4, частное равно \(-6\), остаток равен 3, так как \(-21 = (-6) \cdot 4 + 3\). Следовательно, \( g(-21) = 3 \).
— Для \( g(32) \): число 32 делим на 4, частное равно 8, остаток равен 0, так как \( 32 = 8 \cdot 4 + 0 \). Следовательно, \( g(32) = 0 \).

2. Область значений функции:
Область значений функции \( E(g) \) состоит из всех возможных остатков от деления целого числа на 4. При делении любого целого числа на 4 остаток может быть только 0, 1, 2 или 3. Например, числа 0, 4, 8 и т.д. дают остаток 0; числа 1, 5, 9 и т.д. дают остаток 1; числа 2, 6, 10 и т.д. дают остаток 2; числа 3, 7, 11 и т.д. дают остаток 3. Других остатков быть не может, так как остаток всегда меньше делителя. Таким образом, область значений функции \( E(g) = \{0, 1, 2, 3\} \).

3. Доказательство равенства \( g(x) = g(x + 4) \) для любого \( x \in \mathbb{Z} \):
Пусть \( x \) — произвольное целое число. Представим его в виде \( x = 4n + k \), где \( n \in \mathbb{Z} \) — частное от деления на 4, а \( k \in \{0, 1, 2, 3\} \) — остаток. Тогда, по определению функции, \( g(x) = g(4n + k) = k \).
Теперь рассмотрим число \( x + 4 \). Подставим значение \( x \): \( x + 4 = (4n + k) + 4 = 4n + 4 + k = 4(n + 1) + k \). Здесь частное стало равно \( n + 1 \), а остаток остался тем же — \( k \). Следовательно, \( g(x + 4) = g(4(n + 1) + k) = k \).
Таким образом, \( g(x) = k \) и \( g(x + 4) = k \), откуда следует, что \( g(x) = g(x + 4) \) для любого целого числа \( x \). Это доказывает, что функция \( g \) периодична с периодом 4. Что и требовалось доказать.