ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \( y = \sqrt{4 — |x|} + \frac{1}{x + 2} \)

2) \( y = \sqrt{|x| — 3} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \)

3) \( y = \frac{1}{(x — 1)^2 (x — 2)} \)

4) \( y = \sqrt{|x + 1| (x — 3)} \)

5) \( y = \sqrt{x^2 (x + 2)} \)

6) \( y = \sqrt{\text{sgn}(x)} \)

1) Для \( y = \sqrt{4 — |x|} + \frac{1}{x + 2} \):
— \(\sqrt{4 — |x|}\) определена при \(4 — |x| \geq 0\), то есть \(|x| \leq 4\), или \(-4 \leq x \leq 4\).
— \(\frac{1}{x + 2}\) определена при \(x + 2 \neq 0\), то есть \(x \neq -2\).
Ответ: \(D(y) = [-4; -2) \cup (-2; 4]\).

2) Для \( y = \sqrt{|x| — 3} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \):
— \(\sqrt{|x| — 3}\) определена при \(|x| — 3 \geq 0\), то есть \(|x| \geq 3\), или \(x \leq -3\) или \(x \geq 3\).
— \(\frac{1}{\sqrt{x + 1}}\) определена при \(x + 1 > 0\), то есть \(x > -1\).
Ответ: \(D(y) = [3; +\infty)\).

3) Для \( y = \frac{1}{(x — 1)^2 (x — 2)} \):
— Знаменатель не должен быть равен нулю: \((x — 1)^2 \neq 0\) и \(x — 2 \neq 0\), то есть \(x \neq 1\) и \(x \neq 2\).
Ответ: \(D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; 2) \cup (2; +\infty)\).

4) Для \( y = \sqrt{|x + 1| (x — 3)} \):
— Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(|x + 1| (x — 3) \geq 0\). Так как \(|x + 1| \geq 0\) всегда, то \(x — 3 \geq 0\), то есть \(x \geq 3\).
Ответ: \(D(y) = [3; +\infty)\).

5) Для \( y = \sqrt{x^2 (x + 2)} \):
— Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(x^2 (x + 2) \geq 0\). Так как \(x^2 \geq 0\) всегда, то \(x + 2 \geq 0\), то есть \(x \geq -2\), но при \(x = 0\) выражение тоже определено.
Ответ: \(D(y) = (-2; 0) \cup (0; +\infty)\).

6) Для \( y = \sqrt{\text{sgn}(x)} \):
— Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(\text{sgn}(x) \geq 0\), то есть \(x \geq 0\).
Ответ: \(D(y) = [0; +\infty)\).

1) Для функции \( y = \sqrt{4 — |x|} + \frac{1}{x + 2} \) необходимо определить область определения, то есть найти все значения \( x \), при которых выражение имеет смысл.
Функция состоит из двух частей: квадратного корня и дроби. Для квадратного корня \(\sqrt{4 — |x|}\) подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть \(4 — |x| \geq 0\). Это означает, что \(|x| \leq 4\), или, раскрывая модуль, \(-4 \leq x \leq 4\).
Для дроби \(\frac{1}{x + 2}\) знаменатель не должен быть равен нулю, то есть \(x + 2 \neq 0\), что дает \(x \neq -2\).
Объединяя оба условия, получаем, что \( x \) должен принадлежать интервалу \(-4 \leq x \leq 4\), но исключая точку \( x = -2\). Таким образом, область определения записывается как объединение интервалов \([-4; -2)\) и \((-2; 4]\).
Ответ: \( D(y) = [-4; -2) \cup (-2; 4] \).

2) Рассмотрим функцию \( y = \sqrt{|x| — 3} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \).
Первое условие связано с квадратным корнем \(\sqrt{|x| — 3}\): подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть \(|x| — 3 \geq 0\). Это означает \(|x| \geq 3\), или \( x \leq -3 \) либо \( x \geq 3 \).
Второе условие связано с выражением \(\frac{1}{\sqrt{x + 1}}\): подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным, так как корень определен только для положительных чисел, а знаменатель не может быть нулем. Таким образом, \( x + 1 > 0 \), то есть \( x > -1 \).
Пересекаем оба условия: из \( x \leq -3 \) и \( x > -1 \) нет общих точек, а из \( x \geq 3 \) и \( x > -1 \) получаем \( x \geq 3 \).
Ответ: \( D(y) = [3; +\infty) \).

3) Для функции \( y = \frac{1}{(x — 1)^2 (x — 2)} \) нужно найти значения \( x \), при которых выражение определено.
Функция является дробью, и область определения определяется условием, что знаменатель не равен нулю. Знаменатель равен \((x — 1)^2 (x — 2)\), и он обращается в ноль, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Решим уравнение \((x — 1)^2 = 0\), откуда \( x = 1 \). Также решим \( x — 2 = 0 \), откуда \( x = 2 \). Таким образом, функция не определена в точках \( x = 1 \) и \( x = 2 \).
Область определения включает все действительные числа, кроме этих двух точек.
Ответ: \( D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; 2) \cup (2; +\infty) \).

4) Рассмотрим функцию \( y = \sqrt{|x + 1| (x — 3)} \).
Для определения области нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть \( |x + 1| (x — 3) \geq 0 \).
Поскольку \( |x + 1| \geq 0 \) для всех \( x \), знак выражения определяется множителем \( x — 3 \). Таким образом, \( x — 3 \geq 0 \), то есть \( x \geq 3 \).
Проверим граничную точку: при \( x = 3 \) выражение равно \( |3 + 1| (3 — 3) = 4 \cdot 0 = 0 \), что допустимо. Значит, \( x = 3 \) входит в область определения.
Ответ: \( D(y) = [3; +\infty) \).

5) Для функции \( y = \sqrt{x^2 (x + 2)} \) определим область определения.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( x^2 (x + 2) \geq 0 \).
Так как \( x^2 \geq 0 \) для всех \( x \), знак выражения определяется множителем \( x + 2 \). Таким образом, \( x + 2 \geq 0 \), то есть \( x \geq -2 \). Однако нужно учесть, что при \( x = 0 \) выражение равно \( 0^2 \cdot (0 + 2) = 0 \), что допустимо, но в окрестности \( x = 0 \) нужно проверить непрерывность области.
Разложим условие: \( x^2 (x + 2) = 0 \) при \( x = 0 \) или \( x = -2 \). Для \( x > -2 \) (кроме \( x = 0 \)) и \( x < -2 \) проверим знак, но так как \( x^2 \geq 0 \), то для \( x > -2 \) выражение положительно, а для \( x < -2 \) — отрицательно. Таким образом, \( x \geq -2 \), но с исключением точек, где выражение отрицательно.
Ответ: \( D(y) = (-2; 0) \cup (0; +\infty) \).

6) Для функции \( y = \sqrt{\text{sgn}(x)} \) найдем область определения.
Функция \(\text{sgn}(x)\) принимает значения \(-1\), \(0\) или \(1\) в зависимости от \( x \). Под корнем должно быть неотрицательное значение, то есть \(\text{sgn}(x) \geq 0\).
Это выполняется, если \( x > 0 \) (тогда \(\text{sgn}(x) = 1\)) или \( x = 0 \) (тогда \(\text{sgn}(x) = 0\)). Для \( x < 0 \) \(\text{sgn}(x) = -1\), что недопустимо.
Таким образом, область определения включает все \( x \geq 0 \).
Ответ: \( D(y) = [0; +\infty) \).