ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \( y = \sqrt{4 — |x|} + \frac{1}{x + 2} \)

2) \( y = \sqrt{|x| — 3} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \)

3) \( y = \frac{1}{(x — 1)^2 (x — 2)} \)

4) \( y = \sqrt{|x + 1| (x — 3)} \)

5) \( y = \sqrt{x^2 (x + 2)} \)

6) \( y = \sqrt{\text{sgn}(x)} \)

1) Для \( y = \sqrt{4 — |x|} + \frac{1}{x + 2} \):
— \(\sqrt{4 — |x|}\) определена при \(4 — |x| \geq 0\), то есть \(|x| \leq 4\), или \(-4 \leq x \leq 4\).
— \(\frac{1}{x + 2}\) определена при \(x + 2 \neq 0\), то есть \(x \neq -2\).
Ответ: \(D(y) = [-4; -2) \cup (-2; 4]\).

2) Для \( y = \sqrt{|x| — 3} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \):
— \(\sqrt{|x| — 3}\) определена при \(|x| — 3 \geq 0\), то есть \(|x| \geq 3\), или \(x \leq -3\) или \(x \geq 3\).
— \(\frac{1}{\sqrt{x + 1}}\) определена при \(x + 1 > 0\), то есть \(x > -1\).
Ответ: \(D(y) = [3; +\infty)\).
3): \(y=\sqrt{(x-1)^2(x-2)}\).

— Подкоренное выражение неотрицательно: \((x-1)^2(x-2)\ge 0\).
— \((x-1)^2\ge 0\) при любых \(x\), равно нулю при \(x=1\).
— Чтобы произведение было \(\ge 0\): либо \(x=1\) (даёт \(0\)), либо \(x-2\ge 0\Rightarrow x\ge 2\).

Ответ: \(D(y)=\{1\}\cup[2;+\infty)\).

4): \(y=\sqrt{|x+1|(x-3)}\).

— Условие: \(|x+1|(x-3)\ge 0\).
— \(|x+1|\ge 0\) при любых \(x\), равно нулю при \(x=-1\).
— Чтобы произведение было \(\ge 0\): либо \(x=-1\) (даёт \(0\)), либо \(x-3\ge 0\Rightarrow x\ge 3\).

Ответ: \(D(y)=\{-1\}\cup[3;+\infty)\).

5) Для \( y = \sqrt{x^2 (x + 2)} \):
— Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(x^2 (x + 2) \geq 0\). Так как \(x^2 \geq 0\) всегда, то \(x + 2 \geq 0\), то есть \(x \geq -2\), но при \(x = 0\) выражение тоже определено.
Ответ: \(D(y) = (-2; 0) \cup (0; +\infty)\).

6) Для \( y = \sqrt{\text{sgn}(x)} \):
— Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(\text{sgn}(x) \geq 0\), то есть \(x \geq 0\).
Ответ: \(D(y) = [0; +\infty)\).

1) Для функции \( y = \sqrt{4 — |x|} + \frac{1}{x + 2} \) необходимо определить область определения, то есть найти все значения \( x \), при которых выражение имеет смысл.
Функция состоит из двух частей: квадратного корня и дроби. Для квадратного корня \(\sqrt{4 — |x|}\) подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть \(4 — |x| \geq 0\). Это означает, что \(|x| \leq 4\), или, раскрывая модуль, \(-4 \leq x \leq 4\).
Для дроби \(\frac{1}{x + 2}\) знаменатель не должен быть равен нулю, то есть \(x + 2 \neq 0\), что дает \(x \neq -2\).
Объединяя оба условия, получаем, что \( x \) должен принадлежать интервалу \(-4 \leq x \leq 4\), но исключая точку \( x = -2\). Таким образом, область определения записывается как объединение интервалов \([-4; -2)\) и \((-2; 4]\).
Ответ: \( D(y) = [-4; -2) \cup (-2; 4] \).

2) Рассмотрим функцию \( y = \sqrt{|x| — 3} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \).
Первое условие связано с квадратным корнем \(\sqrt{|x| — 3}\): подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть \(|x| — 3 \geq 0\). Это означает \(|x| \geq 3\), или \( x \leq -3 \) либо \( x \geq 3 \).
Второе условие связано с выражением \(\frac{1}{\sqrt{x + 1}}\): подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным, так как корень определен только для положительных чисел, а знаменатель не может быть нулем. Таким образом, \( x + 1 > 0 \), то есть \( x > -1 \).
Пересекаем оба условия: из \( x \leq -3 \) и \( x > -1 \) нет общих точек, а из \( x \geq 3 \) и \( x > -1 \) получаем \( x \geq 3 \).
Ответ: \( D(y) = [3; +\infty) \).

3) рассматриваем функцию \(y=\sqrt{(x-1)^{2}(x-2)}\). Требование существования корня из неотрицательного числа задаёт условие на область определения: подкоренное выражение должно быть не меньше нуля, то есть \((x-1)^{2}(x-2)\ge 0\). Квадрат произвольного выражения всегда неотрицателен, поэтому \((x-1)^{2}\ge 0\) для всех \(x\), и равен нулю только при \(x=1\). Отсюда сразу следует, что при \(x=1\) всё произведение становится \(0\), а значит выражение под корнем корректно и \(y=0\). Если же \(x\ne 1\), то множитель \((x-1)^{2}\) строго положителен, и знак всего произведения определяется исключительно множителем \((x-2)\). Чтобы произведение не было отрицательным, при положительном первом множителе требуется \((x-2)\ge 0\), то есть \(x\ge 2\). При \(x<2\) и \(x\ne 1\) второй множитель отрицателен, первый положителен, их произведение отрицательно, что не допускается из-за корня. Таким образом набор допустимых значений складывается из особой точки, где квадрат зануляет подкоренное выражение, и луча, где второй множитель неотрицателен: это \(x=1\) и все \(x\ge 2\).

Итак, область определения функции в пункте 3 равна объединению одиночной точки и луча: \(D(y)=\{1\}\cup[2;+\infty)\). Здесь \(\{1\}\) отражает специфический случай зануления квадрата, а интервал \([2;+\infty)\) соответствует значениям, при которых второй множитель \((x-2)\) неотрицателен, а первый множитель \((x-1)^{2}\) гарантированно неотрицателен по свойству квадрата. Никаких других значений \(x\) добавить нельзя, так как при \(x<2\) и \(x\ne 1\) произведение становится отрицательным и радикал не определён в действительных числах.

4) анализируем функцию \(y=\sqrt{|x+1|(x-3)}\). По тем же причинам область определения задаётся условием \(|x+1|(x-3)\ge 0\). Модуль любой величины неотрицателен: \(|x+1|\ge 0\) для всех \(x\), причём \(|x+1|=0\) только при \(x=-1\). Следовательно, при \(x=-1\) подкоренное выражение равно \(0\), и корень определён. Если \(x\ne -1\), то \(|x+1|>0\), и как и раньше знак произведения целиком определяется вторым множителем \((x-3)\). Чтобы произведение было неотрицательным при положительном первом множителе, нужен \((x-3)\ge 0\), то есть \(x\ge 3\). При \(x<3\) и \(x\ne -1\) второй множитель отрицателен, первый положителен, их произведение отрицательно, что нарушает требование неотрицательности под корнем. Таким образом допустимые \(x\) составляются из точки зануления модуля и луча правее тройки: это \(x=-1\) и все \(x\ge 3\).

Следовательно, область определения функции во втором случае есть объединение множества из одной точки и луча: \(D(y)=\{-1\}\cup[3;+\infty)\). Здесь точка \(-1\) даёт нулевое подкоренное выражение за счёт зануления \(|x+1|\), а луч \([3;+\infty)\) обеспечивает неотрицательность множителя \((x-3)\), тогда как модуль \(|x+1|\) по определению не бывает отрицательным. Других значений нет, потому что при \(x<3\) и \(x\ne -1\) произведение становится отрицательным и корень не определён в действительных числах.

5) Для функции \( y = \sqrt{x^2 (x + 2)} \) определим область определения.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( x^2 (x + 2) \geq 0 \).
Так как \( x^2 \geq 0 \) для всех \( x \), знак выражения определяется множителем \( x + 2 \). Таким образом, \( x + 2 \geq 0 \), то есть \( x \geq -2 \). Однако нужно учесть, что при \( x = 0 \) выражение равно \( 0^2 \cdot (0 + 2) = 0 \), что допустимо, но в окрестности \( x = 0 \) нужно проверить непрерывность области.
Разложим условие: \( x^2 (x + 2) = 0 \) при \( x = 0 \) или \( x = -2 \). Для \( x > -2 \) (кроме \( x = 0 \)) и \( x < -2 \) проверим знак, но так как \( x^2 \geq 0 \), то для \( x > -2 \) выражение положительно, а для \( x < -2 \) — отрицательно. Таким образом, \( x \geq -2 \), но с исключением точек, где выражение отрицательно.
Ответ: \( D(y) = (-2; 0) \cup (0; +\infty) \).

6) Для функции \( y = \sqrt{\text{sgn}(x)} \) найдем область определения.
Функция \(\text{sgn}(x)\) принимает значения \(-1\), \(0\) или \(1\) в зависимости от \( x \). Под корнем должно быть неотрицательное значение, то есть \(\text{sgn}(x) \geq 0\).
Это выполняется, если \( x > 0 \) (тогда \(\text{sgn}(x) = 1\)) или \( x = 0 \) (тогда \(\text{sgn}(x) = 0\)). Для \( x < 0 \) \(\text{sgn}(x) = -1\), что недопустимо.
Таким образом, область определения включает все \( x \geq 0 \).
Ответ: \( D(y) = [0; +\infty) \).