ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \( y = \sqrt{3 — |x|} — \frac{1}{x — 2} \)

2) \( y = \frac{1}{\sqrt{|x| — 1}} + \sqrt{x + 4} \)

3) \( y = -\frac{1}{\sqrt{(x + 1)^2 (x + 3)}} \)

4) \( y = \sqrt{(x + 4)^2 (x — 3)} \)

5) \( y = \sqrt{|x + 5| (x + 2)} \)

6) \( y = \frac{1}{\sqrt{\text{sgn}(x)}} \)

1) Для функции \( y = \sqrt{3 — |x|} — \frac{1}{x — 2} \) область определения определяется условиями: \( 3 — |x| \geq 0 \), то есть \( |x| < 3 \) или \( -3 < x < 3 \), и \( x — 2 \neq 0 \), то есть \( x \neq 2 \). Ответ: \( D(y) = (-3; 2) \cup (2; 3) \).

2) Для функции \( y = \frac{1}{\sqrt{|x| — 1}} + \sqrt{x + 4} \) условия: \( |x| — 1 > 0 \), то есть \( |x| > 1 \) или \( x < -1, x > 1 \), и \( x + 4 \geq 0 \), то есть \( x \geq -4 \). Ответ: \( D(y) = [-4; -1) \cup (1; +\infty) \).

3) Для функции \( y = -\frac{1}{\sqrt{(x + 1)^2 (x + 3)}} \) условие: \( (x + 1)^2 (x + 3) > 0 \), то есть \( x + 3 > 0 \) и \( x + 1 \neq 0 \), что дает \( x > -3 \) и \( x \neq -1 \). Ответ: \( D(y) = (-3; -1) \cup (-1; +\infty) \).

4) Для функции \( y = \sqrt{(x + 4)^2 (x — 3)} \) условие: \( (x + 4)^2 (x — 3) \geq 0 \), то есть \( x — 3 \geq 0 \) или \( x + 4 = 0 \), что дает \( x \geq 3 \) или \( x = -4 \). Ответ: \( D(y) = \{-4\} \cup [3; +\infty) \).

5) Для функции \( y = \sqrt{|x + 5| (x + 2)} \) условие: \( |x + 5| (x + 2) \geq 0 \), то есть \( x + 2 \geq 0 \) или \( x + 5 = 0 \), что дает \( x \geq -2 \) или \( x = -5 \). Ответ: \( D(y) = \{-5\} \cup [-2; +\infty) \).

6) Для функции \( y = \frac{1}{\sqrt{\text{sgn}(x)}} \) условие: \( \text{sgn}(x) > 0 \), то есть \( x > 0 \). Ответ: \( D(y) = (0; +\infty) \).

1) Рассмотрим функцию \( y = \sqrt{3 — |x|} — \frac{1}{x — 2} \). Для определения области определения необходимо учитывать условия, при которых выражения под корнем и в знаменателе имеют смысл. Первое условие связано с квадратным корнем: \( 3 — |x| \geq 0 \). Это означает, что \( |x| \leq 3 \), или, раскрывая модуль, \( -3 \leq x \leq 3 \). Второе условие связано с дробью: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть \( x — 2 \neq 0 \), что дает \( x \neq 2 \). Объединяя оба условия, получаем, что \( x \) должен лежать в интервале \( (-3; 3) \), но с исключением точки \( x = 2 \). Таким образом, область определения функции: \( D(y) = (-3; 2) \cup (2; 3) \).

2) Перейдем к функции \( y = \frac{1}{\sqrt{|x| — 1}} + \sqrt{x + 4} \). Здесь также два условия. Первое условие связано с выражением под корнем в знаменателе: \( |x| — 1 > 0 \), так как корень должен быть определен и знаменатель не равен нулю. Это дает \( |x| > 1 \), или \( x < -1 \) и \( x > 1 \). Второе условие связано с квадратным корнем: \( x + 4 \geq 0 \), то есть \( x \geq -4 \). Объединяя оба условия, для \( x < -1 \) пересечение с \( x \geq -4 \) дает \( x \in [-4; -1) \), а для \( x > 1 \) ограничений снизу нет. Итоговая область определения: \( D(y) = [-4; -1) \cup (1; +\infty) \).

3) Рассмотрим функцию \( y = -\frac{1}{\sqrt{(x + 1)^2 (x + 3)}} \). Здесь ключевое условие связано с выражением под корнем в знаменателе: \( (x + 1)^2 (x + 3) > 0 \), так как корень должен быть определен, а знаменатель не равен нулю. Поскольку \( (x + 1)^2 \) всегда неотрицательно и равно нулю при \( x = -1 \), а \( x + 3 > 0 \) при \( x > -3 \), то произведение положительно, когда \( x + 3 > 0 \) и \( x \neq -1 \). Это дает \( x > -3 \) с исключением точки \( x = -1 \). Таким образом, область определения: \( D(y) = (-3; -1) \cup (-1; +\infty) \).

4) Для функции \( y = \sqrt{(x + 4)^2 (x — 3)} \) условие определения связано с выражением под корнем: \( (x + 4)^2 (x — 3) \geq 0 \). Поскольку \( (x + 4)^2 \) всегда неотрицательно и равно нулю при \( x = -4 \), то знак произведения зависит от \( x — 3 \). Произведение неотрицательно, когда \( x — 3 \geq 0 \), то есть \( x \geq 3 \), или когда \( x — 3 < 0 \), но \( (x + 4)^2 = 0 \), то есть при \( x = -4 \). Таким образом, область определения: \( D(y) = \{-4\} \cup [3; +\infty) \).

5) Рассмотрим функцию \( y = \sqrt{|x + 5| (x + 2)} \). Условие определения: \( |x + 5| (x + 2) \geq 0 \). Поскольку \( |x + 5| \) всегда неотрицательно и равно нулю при \( x = -5 \), то знак произведения зависит от \( x + 2 \). Произведение неотрицательно, когда \( x + 2 \geq 0 \), то есть \( x \geq -2 \), или когда \( x + 2 < 0 \), но \( |x + 5| = 0 \), то есть при \( x = -5 \). Таким образом, область определения: \( D(y) = \{-5\} \cup [-2; +\infty) \).

6) Наконец, для функции \( y = \frac{1}{\sqrt{\text{sgn}(x)}} \) условие определения связано с выражением под корнем: \( \text{sgn}(x) > 0 \), так как корень должен быть определен, а знаменатель не равен нулю. Функция \( \text{sgn}(x) = 1 \), когда \( x > 0 \), и равна 0 или -1 при \( x \leq 0 \), что не удовлетворяет условию. Таким образом, область определения: \( D(y) = (0; +\infty) \).