ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

1) \( y = -2x^2 + 3x — 4 \)

2) \( y = \frac{2x + 3}{3x + 1} \)

3) \( y = 2 — \frac{1}{x} \)

1) Для функции \( y = -2x^2 + 3x — 4 \) парабола направлена вниз, так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный (\( a = -2 < 0 \)). Найдем координаты вершины: \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-2)} = \frac{3}{4} \), подставим в функцию: \( y_0 = -2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3 \cdot \frac{3}{4} — 4 = -2 \cdot \frac{9}{16} + \frac{9}{4} — 4 = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} — \frac{32}{8} = -\frac{23}{8} \). Область значений: \( y \in \left(-\infty; -\frac{23}{8}\right] \).

2) Для функции \( y = \frac{2x + 3}{3x + 1} \) определим точки разрыва: знаменатель равен нулю при \( x = -\frac{1}{3} \). Горизонтальная асимптота: \( y = \frac{2}{3} \) (отношение старших коэффициентов). Функция не принимает значение \( y = \frac{2}{3} \), так как уравнение \( \frac{2x + 3}{3x + 1} = \frac{2}{3} \) не имеет решений. Область значений: \( y \in \left(-\infty; \frac{2}{3}\right) \cup \left(\frac{2}{3}; +\infty\right) \).

3) Для функции \( y = 2 — \frac{1}{x} \) точка разрыва при \( x = 0 \). Функция не принимает значение \( y = 2 \), так как уравнение \( 2 — \frac{1}{x} = 2 \) не имеет решений. При \( x \to 0^- \), \( y \to +\infty \); при \( x \to 0^+ \), \( y \to -\infty \); при \( x \to \pm\infty \), \( y \to 2 \). Область значений: \( y \in \left(-\infty; 2\right) \cup \left(2; +\infty\right) \).

1) Рассмотрим функцию \( y = -2x^2 + 3x — 4 \). Это парабола, и поскольку коэффициент при \( x^2 \) отрицательный (\( a = -2 < 0 \)), ветви параболы направлены вниз. Чтобы найти область значений, нужно определить координаты вершины параболы, так как максимальное значение функции будет достигаться в этой точке, а область значений будет от максимума до минус бесконечности.

Для нахождения абсциссы вершины используем формулу \( x_0 = -\frac{b}{2a} \). Подставим значения \( b = 3 \) и \( a = -2 \): \( x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-2)} = -\frac{3}{-4} = \frac{3}{4} \). Теперь вычислим значение функции в этой точке, то есть ординату вершины \( y_0 \). Подставим \( x = \frac{3}{4} \) в уравнение: \( y_0 = -2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3 \cdot \frac{3}{4} — 4 \). Сначала вычислим \( \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \), затем \( -2 \cdot \frac{9}{16} = -\frac{18}{16} = -\frac{9}{8} \). Далее \( 3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4} = \frac{18}{8} \), и последнее слагаемое \( -4 = -\frac{32}{8} \). Сложим все: \( y_0 = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} — \frac{32}{8} = \frac{-9 + 18 — 32}{8} = \frac{-23}{8} = -2\frac{7}{8} \).

Таким образом, максимальное значение функции равно \( y_0 = -\frac{23}{8} \), и поскольку ветви параболы направлены вниз, функция принимает все значения меньше или равные этому числу. Следовательно, область значений функции: \( y \in \left(-\infty; -\frac{23}{8}\right] \).

2) Рассмотрим функцию \( y = \frac{2x + 3}{3x + 1} \). Это дробно-рациональная функция, график которой представляет собой гиперболу с асимптотами. Сначала определим точки разрыва функции, то есть значения \( x \), при которых знаменатель обращается в ноль. Решаем уравнение \( 3x + 1 = 0 \), откуда \( x = -\frac{1}{3} \). Значит, функция не определена в точке \( x = -\frac{1}{3} \), и эта точка является вертикальной асимптотой.

Далее найдем горизонтальную асимптоту. Для этого вычислим предел функции при \( x \to \pm\infty \). Так как степени числителя и знаменателя одинаковы (равны 1), то предел равен отношению старших коэффициентов: \( y = \frac{2}{3} \). Таким образом, горизонтальная асимптота — это прямая \( y = \frac{2}{3} \). Теперь проверим, принимает ли функция значение \( y = \frac{2}{3} \). Решаем уравнение \( \frac{2x + 3}{3x + 1} = \frac{2}{3} \). Приведем к общему знаменателю: \( 3(2x + 3) = 2(3x + 1) \), то есть \( 6x + 9 = 6x + 2 \), что дает \( 9 = 2 \), а это противоречие. Значит, функция не принимает значение \( y = \frac{2}{3} \).

Чтобы определить область значений, заметим, что функция непрерывна на интервалах \( \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right) \) и \( \left(-\frac{1}{3}; +\infty\right) \). На каждом из этих интервалов функция может принимать значения либо больше, либо меньше \( \frac{2}{3} \), так как горизонтальная асимптота не пересекается. Анализируя поведение функции (например, взяв тестовые точки), можно убедиться, что на интервале \( \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right) \) значения \( y > \frac{2}{3} \), а на интервале \( \left(-\frac{1}{3}; +\infty\right) \) значения \( y < \frac{2}{3} \). Следовательно, область значений: \( y \in \left(-\infty; \frac{2}{3}\right) \cup \left(\frac{2}{3}; +\infty\right) \).

3) Рассмотрим функцию \( y = 2 — \frac{1}{x} \). Это также дробно-рациональная функция, не определенная в точке \( x = 0 \), где знаменатель равен нулю. Значит, вертикальная асимптота — это ось \( x = 0 \). Теперь определим горизонтальную асимптоту, вычислив предел при \( x \to \pm\infty \). Так как \( \frac{1}{x} \to 0 \), то \( y \to 2 — 0 = 2 \). Таким образом, горизонтальная асимптота — это прямая \( y = 2 \).

Проверим, принимает ли функция значение \( y = 2 \). Решаем уравнение \( 2 — \frac{1}{x} = 2 \), откуда \( -\frac{1}{x} = 0 \), что невозможно. Значит, значение \( y = 2 \) функция не принимает. Далее анализируем поведение функции. При \( x \to 0^+ \) (с положительной стороны) \( \frac{1}{x} \to +\infty \), значит \( y = 2 — \frac{1}{x} \to -\infty \). При \( x \to 0^- \) (с отрицательной стороны) \( \frac{1}{x} \to -\infty \), значит \( y = 2 — (-\infty) \to +\infty \). При \( x \to +\infty \), \( y \to 2^- \) (подходит к 2 снизу), а при \( x \to -\infty \), \( y \to 2^+ \) (подходит к 2 сверху).

Таким образом, на интервале \( (0; +\infty) \) функция принимает все значения меньше 2, а на интервале \( (-\infty; 0) \) — все значения больше 2. Следовательно, область значений: \( y \in \left(-\infty; 2\right) \cup \left(2; +\infty\right) \).