ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

1) \( y = -2x^2 + 3x — 4 \)

2) \( y = \frac{2x + 3}{3x + 1} \)

3) \( y = 2 — \frac{1}{x} \)

1) Для функции \( y = -2x^2 + 3x — 4 \) парабола направлена вниз, так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный (\( a = -2 < 0 \)). Найдем координаты вершины: \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-2)} = \frac{3}{4} \), подставим в функцию: \( y_0 = -2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3 \cdot \frac{3}{4} — 4 = -2 \cdot \frac{9}{16} + \frac{9}{4} — 4 = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} — \frac{32}{8} = -\frac{23}{8} \). Область значений: \( y \in \left(-\infty; -\frac{23}{8}\right] \).

2) Приведём \(y=\frac{3x+1}{2x+3}\) к виду: \(y=\frac{3}{2}+\frac{-\frac{7}{2}}{2x+3}\).
Асимптоты: \(x=-\frac{3}{2}\), \(y=\frac{3}{2}\).
Область значений: \(E(y)=(-\infty;\frac{3}{2})\cup(\frac{3}{2};+\infty)\).

3) Пусть \(y=\frac{x}{x^2-1}=a\). Тогда \(x=a(x^2-1)\Rightarrow ax^2-x-a=0\).
Дискриминант: \(D=1+4a^2\ge 0\) при всех \(a\in\mathbb{R}\).
Следовательно, область значений: \(E(y)=(-\infty;+\infty)\).

1) Рассмотрим функцию \( y = -2x^2 + 3x — 4 \). Это парабола, и поскольку коэффициент при \( x^2 \) отрицательный (\( a = -2 < 0 \)), ветви параболы направлены вниз. Чтобы найти область значений, нужно определить координаты вершины параболы, так как максимальное значение функции будет достигаться в этой точке, а область значений будет от максимума до минус бесконечности.

Для нахождения абсциссы вершины используем формулу \( x_0 = -\frac{b}{2a} \). Подставим значения \( b = 3 \) и \( a = -2 \): \( x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-2)} = -\frac{3}{-4} = \frac{3}{4} \). Теперь вычислим значение функции в этой точке, то есть ординату вершины \( y_0 \). Подставим \( x = \frac{3}{4} \) в уравнение: \( y_0 = -2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3 \cdot \frac{3}{4} — 4 \). Сначала вычислим \( \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \), затем \( -2 \cdot \frac{9}{16} = -\frac{18}{16} = -\frac{9}{8} \). Далее \( 3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4} = \frac{18}{8} \), и последнее слагаемое \( -4 = -\frac{32}{8} \). Сложим все: \( y_0 = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} — \frac{32}{8} = \frac{-9 + 18 — 32}{8} = \frac{-23}{8} = -2\frac{7}{8} \).

Таким образом, максимальное значение функции равно \( y_0 = -\frac{23}{8} \), и поскольку ветви параболы направлены вниз, функция принимает все значения меньше или равные этому числу. Следовательно, область значений функции: \( y \in \left(-\infty; -\frac{23}{8}\right] \).

2)

Для задачи 2: Рассмотрим функцию \(y=\frac{3x+1}{2x+3}\). Выполним разложение на сумму постоянной и дробной части через деление многочленов: подберём число \(k\) так, чтобы числитель представлялся как \(k(2x+3)+\text{остаток}\). Берём \(k=\frac{3}{2}\), тогда \(k(2x+3)=3x+\frac{9}{2}\). Разность числителя и этой величины равна \((3x+1)-(3x+\frac{9}{2})=1-\frac{9}{2}=-\frac{7}{2}\). Значит, \(y=\frac{3}{2}+\frac{-\frac{7}{2}}{2x+3}=\frac{3}{2}-\frac{7}{4}\cdot\frac{1}{x+\frac{3}{2}}\). Отсюда видим гиперболическую форму, где вертикальная асимптота получается из знаменателя \(2x+3=0\Rightarrow x=-\frac{3}{2}\), а горизонтальная из постоянной части \(y=\frac{3}{2}\). Так как слагаемая \(\frac{-\frac{7}{2}}{2x+3}\) может принимать любые действительные значения, кроме нуля при стремлении к бесконечности, но сама функция никогда не равна \(\frac{3}{2}\) (иначе дробная часть должна быть равна нулю, что невозможно при конечном \(x\)), то все значения \(y\), кроме уровня асимптоты, достижимы. Следовательно, область значений есть объединение двух лучей относительно горизонтальной асимптоты: \(E(y)=(-\infty;\frac{3}{2})\cup(\frac{3}{2};+\infty)\).

Уточним достижимость крайних значений для задачи 2. При \(x\to -\frac{3}{2}^{+}\) знаменатель \(2x+3\to 0^{+}\), дробная часть \(\frac{-\frac{7}{2}}{2x+3}\to -\infty\), и \(y\to -\infty\); при \(x\to -\frac{3}{2}^{-}\) знаменатель \(2x+3\to 0^{-}\), дробная часть \(\to +\infty\), и \(y\to +\infty\). При \(x\to \pm\infty\) дробная часть \(\to 0\), но знак никогда не даёт точного нуля, так что \(y\) стремится к \(\frac{3}{2}\), не достигая её. Это подтверждает выколотый уровень \(y=\frac{3}{2}\) и непрерывное покрытие остальных значений.

3) Рассмотрим функцию \(y=\frac{x}{x^{2}-1}\). Для описания области значений положим \(y=a\) и решим уравнение относительно \(x\): \(\frac{x}{x^{2}-1}=a\Rightarrow x=a(x^{2}-1)\Rightarrow ax^{2}-x-a=0\). Это квадратное уравнение по \(x\) с параметром \(a\). Его дискриминант равен \(D=(-1)^{2}-4\cdot a\cdot(-a)=1+4a^{2}\). Так как \(1+4a^{2}>0\) для любого \(a\in\mathbb{R}\), уравнение имеет действительные решения \(x\) для каждого действительного \(a\), за исключением точек \(x=\pm 1\), где исходная функция не определена. Но наличие хотя бы одного допустимого корня \(x\neq \pm 1\) для каждого \(a\) гарантируется: корни равны \(x=\frac{1\pm\sqrt{1+4a^{2}}}{2a}\) при \(a\neq 0\) и \(x=0\) при \(a=0\); при \(a\neq 0\) знаменатель \((x^{2}-1)\) не обращается в ноль одновременно с найденными корнями, поскольку \(x=\pm 1\) означало бы \(\frac{1\pm\sqrt{1+4a^{2}}}{2a}=\pm 1\), что невозможно из-за несоответствия значений. Следовательно, для каждого \(a\in\mathbb{R}\) найдётся допустимый \(x\), и область значений равна всей действительной прямой: \(E(y)=(-\infty;+\infty)\).