ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

1) \( y = 5x^2 — x + 1 \)

2) \( y = \frac{5x + 4}{2x — 1} \)

3) \( y = 4x + 1 \)

1) Для функции \( y = 5x^2 — x + 1 \) парабола направлена вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положительный (\( a = 5 > 0 \)). Находим вершину параболы: \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10} \), затем \( y_0 = 5 \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^2 — \frac{1}{10} + 1 = \frac{5}{100} — \frac{1}{10} + 1 = \frac{1}{20} — \frac{1}{10} + 1 = \frac{1 — 2 + 20}{20} = \frac{19}{20} \). Область значений: \( y \geq \frac{19}{20} \), то есть \( \left[\frac{19}{20}; +\infty\right) \).

2) Для функции \( y = \frac{5x + 4}{2x — 1} \) определяем область определения: \( 2x — 1 \neq 0 \), то есть \( x \neq \frac{1}{2} \). Находим асимптоты: вертикальная \( x = \frac{1}{2} \), горизонтальная \( y = \frac{5}{2} \) (по старшим коэффициентам). Решаем уравнение \( y = \frac{5x + 4}{2x — 1} \) относительно \( x \), чтобы определить значения \( y \), при которых есть решения: \( y(2x — 1) = 5x + 4 \), \( 2yx — y = 5x + 4 \), \( 2yx — 5x = y + 4 \), \( x(2y — 5) = y + 4 \), \( x = \frac{y + 4}{2y — 5} \). Дискриминант не нужен, так как это линейное уравнение, но знаменатель \( 2y — 5 \neq 0 \), то есть \( y \neq \frac{5}{2} \). Значит, область значений: \( y \neq \frac{5}{2} \), то есть \( (-\infty; \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}; +\infty) \).

3) Для функции \( y = 4x + 1 \) это линейная функция, которая принимает все действительные значения, так как коэффициент при \( x \) не равен нулю. Область значений: \( y \in (-\infty; +\infty) \).

1) Рассмотрим функцию \( y = 5x^2 — x + 1 \). Это квадратичная функция, график которой представляет собой параболу. Так как коэффициент при \( x^2 \) равен 5, что больше 0, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет минимальное значение в вершине параболы, а область значений будет от этого минимального значения до плюс бесконечности.

Для нахождения координат вершины параболы используем формулу \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 5 \), \( b = -1 \). Подставляем: \( x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10} \). Теперь вычислим значение функции в этой точке, то есть \( y_0 \): \( y_0 = 5 \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^2 — \left(\frac{1}{10}\right) + 1 = 5 \cdot \frac{1}{100} — \frac{1}{10} + 1 = \frac{5}{100} — \frac{10}{100} + \frac{100}{100} =\)
\(= \frac{5 — 10 + 100}{100} = \frac{95}{100} = \frac{19}{20} \).

Таким образом, минимальное значение функции равно \( \frac{19}{20} \), и поскольку парабола направлена вверх, функция принимает все значения больше или равные этому числу. Следовательно, область значений функции: \( y \in \left[\frac{19}{20}; +\infty\right) \).

2) Перейдем к функции \( y = \frac{5x + 4}{2x — 1} \). Это дробно-рациональная функция, график которой представляет собой гиперболу с асимптотами. Сначала определим область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть \( 2x — 1 \neq 0 \), откуда \( x \neq \frac{1}{2} \). Таким образом, точка \( x = \frac{1}{2} \) является вертикальной асимптотой.

Далее найдем горизонтальную асимптоту. Для этого рассмотрим поведение функции при \( x \to \pm\infty \). Отношение старших коэффициентов числителя и знаменателя дает \( y = \frac{5}{2} \), что и является горизонтальной асимптотой. Это означает, что значение \( y = \frac{5}{2} \) функция не принимает.

Чтобы определить область значений, решим уравнение относительно \( x \): \( y = \frac{5x + 4}{2x — 1} \), умножим обе части на знаменатель: \( y(2x — 1) = 5x + 4 \), раскроем скобки: \( 2yx — y = 5x + 4 \), перенесем слагаемые с \( x \) в одну сторону: \( 2yx — 5x = y + 4 \), вынесем \( x \) за скобку: \( x(2y — 5) = y + 4 \), откуда \( x = \frac{y + 4}{2y — 5} \). Видим, что выражение определено для всех \( y \), кроме случая, когда знаменатель равен нулю, то есть \( 2y — 5 \neq 0 \), откуда \( y \neq \frac{5}{2} \).

Таким образом, функция принимает все значения, кроме \( y = \frac{5}{2} \). Следовательно, область значений: \( y \in (-\infty; \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}; +\infty) \).

3) Рассмотрим функцию \( y = 4x + 1 \). Это линейная функция, график которой — прямая линия. Коэффициент при \( x \) равен 4, что не равно нулю, поэтому функция монотонно возрастает и принимает все действительные значения.

Чтобы убедиться в этом, решим уравнение относительно \( x \): \( y = 4x + 1 \), откуда \( 4x = y — 1 \), \( x = \frac{y — 1}{4} \). Это выражение определено для всех \( y \), значит, для любого \( y \) существует соответствующее значение \( x \). Следовательно, область значений функции: \( y \in (-\infty; +\infty) \).