ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \( D(f) = [-1; 4] \). Найдите область определения функции:
1) \( y = f(-x) \)
2) \( y = f(2x) \)
3) \( y = f(1 — x) \)
4) \( y = f(x^2) \)
5) \( y = f(|x|) \)
6) \( y = f(2) \)

1) Для \( y = f(-x) \): область определения определяется из условия \( -1 \leq -x \leq 4 \), что эквивалентно \( -4 \leq x \leq 1 \). Ответ: \( D(y) = [-4; 1] \).

2) Для \( y = f(2x) \): условие \( -1 \leq 2x \leq 4 \) приводит к \( -\frac{1}{2} \leq x \leq 2 \). Ответ: \( D(y) = [-\frac{1}{2}; 2] \).

3) Для \( y = f(1 — x) \): из условия \( -1 \leq 1 — x \leq 4 \) получаем \( -3 \leq x \leq 2 \). Ответ: \( D(y) = [-3; 2] \).

4) Для \( y = f(x^2) \): условие \( -1 \leq x^2 \leq 4 \) выполняется при \( x^2 \leq 4 \), то есть \( -2 \leq x \leq 2 \). Ответ: \( D(y) = [-2; 2] \).

5) Для \( y = f(|x|) \): из условия \( -1 \leq |x| \leq 4 \) следует \( |x| \leq 4 \), то есть \( -4 \leq x \leq 4 \). Ответ: \( D(y) = [-4; 4] \).

6) Для \( y = f\left(\frac{1}{x}\right) \): условие \( -1 \leq \frac{1}{x} \leq 4 \) решается как объединение решений двух неравенств: \( x \leq -1 \) или \( x > 0 \) для первого, и \( x < 0 \) или \( x \geq \frac{1}{4} \) для второго. Итог: \( x \leq -1 \) или \( x \geq \frac{1}{4} \). Ответ: \( D(y) = (-\infty; -1] \cup [\frac{1}{4}; +\infty) \).

1) Для функции \( y = f(-x) \) область определения исходной функции \( f(x) \) задана как \( D(f) = [-1; 4] \). Это означает, что аргумент функции \( f \) должен находиться в диапазоне от -1 до 4 включительно. В данном случае аргумент функции равен \( -x \), поэтому составляем неравенство \( -1 \leq -x \leq 4 \). Чтобы найти значения \( x \), умножим все части неравенства на -1, при этом знаки неравенства меняются на противоположные: \( 1 \geq x \geq -4 \), что эквивалентно \( -4 \leq x \leq 1 \). Таким образом, область определения функции \( y = f(-x) \) составляет \( D(y) = [-4; 1] \).

2) Рассмотрим функцию \( y = f(2x) \). Исходная область определения \( D(f) = [-1; 4] \) накладывает ограничение на аргумент \( 2x \), то есть \( -1 \leq 2x \leq 4 \). Чтобы найти допустимые значения \( x \), разделим все части неравенства на 2: \( -\frac{1}{2} \leq x \leq 2 \). Следовательно, область определения функции \( y = f(2x) \) равна \( D(y) = [-\frac{1}{2}; 2] \).

3) Для функции \( y = f(1 — x) \) аргумент функции равен \( 1 — x \), и он должен лежать в пределах \( D(f) = [-1; 4] \). Составляем неравенство \( -1 \leq 1 — x \leq 4 \). Сначала вычтем 1 из всех частей: \( -2 \leq -x \leq 3 \). Затем умножим на -1, меняя знаки неравенства: \( 2 \geq x \geq -3 \), или \( -3 \leq x \leq 2 \). Таким образом, область определения функции \( y = f(1 — x) \) равна \( D(y) = [-3; 2] \).

4) Перейдем к функции \( y = f(x^2) \). Аргумент функции равен \( x^2 \), и он должен удовлетворять условию \( -1 \leq x^2 \leq 4 \). Поскольку \( x^2 \) всегда неотрицательно, условие \( x^2 \geq -1 \) выполняется автоматически для всех \( x \). Остается условие \( x^2 \leq 4 \), что эквивалентно \( -2 \leq x \leq 2 \). Следовательно, область определения функции \( y = f(x^2) \) составляет \( D(y) = [-2; 2] \).

5) Для функции \( y = f(|x|) \) аргумент равен \( |x| \), который всегда неотрицателен, и должен лежать в пределах \( D(f) = [-1; 4] \). Составляем неравенство \( -1 \leq |x| \leq 4 \). Условие \( |x| \geq -1 \) выполняется для всех \( x \), поэтому достаточно рассмотреть \( |x| \leq 4 \), что означает \( -4 \leq x \leq 4 \). Таким образом, область определения функции \( y = f(|x|) \) равна \( D(y) = [-4; 4] \).

6) Наконец, рассмотрим функцию \( y = f\left(\frac{1}{x}\right) \). Аргумент функции равен \( \frac{1}{x} \), и он должен находиться в диапазоне \( D(f) = [-1; 4] \), то есть \( -1 \leq \frac{1}{x} \leq 4 \). Это неравенство разбивается на два условия: \( \frac{1}{x} \geq -1 \) и \( \frac{1}{x} \leq 4 \). Для первого условия \( \frac{1}{x} \geq -1 \): если \( x > 0 \), то \( \frac{1}{x} \geq -1 \) всегда выполняется; если \( x < 0 \), то \( \frac{1}{x} \leq -1 \), что дает \( x \leq -1 \). Для второго условия \( \frac{1}{x} \leq 4 \): если \( x > 0 \), то \( x \geq \frac{1}{4} \); если \( x < 0 \), то \( \frac{1}{x} \leq 4 \) всегда выполняется. Объединяя результаты, получаем \( x \leq -1 \) или \( x \geq \frac{1}{4} \). Таким образом, область определения функции \( y = f\left(\frac{1}{x}\right) \) равна \( D(y) = (-\infty; -1] \cup [\frac{1}{4}; +\infty) \).