ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \( D(g) = [-9; 1] \). Найдите область определения функции:
1) \( y = g(x + 1) \)
2) \( y = g\left(\frac{x}{2}\right) \)
3) \( y = g(x^2) \)
4) \( y = g(-x) \)
5) \( y = g(\sqrt{x}) \)
6) \( y = g(4) \)

1) Для \( y = g(x + 1) \): область определения определяется из условия \( -9 \leq x + 1 \leq 1 \), что дает \( -10 \leq x \leq 0 \). Ответ: \( D(y) = [-10; 0] \).

2) Для \( y = g\left(\frac{x}{2}\right) \): область определения определяется из условия \( -9 \leq \frac{x}{2} \leq 1 \), что дает \( -18 \leq x \leq 2 \). Ответ: \( D(y) = [-18; 2] \).

3) Для \( y = g(x^2) \): область определения определяется из условия \( -9 \leq x^2 \leq 1 \), что дает \( x^2 \leq 1 \), то есть \( -1 \leq x \leq 1 \). Ответ: \( D(y) = [-1; 1] \).

4) Для \( y = g(-x) \): область определения определяется из условия \( -9 \leq -x \leq 1 \), что дает \( -1 \leq x \leq 9 \). Ответ: \( D(y) = [-1; 9] \).

5) Для \( y = g(\sqrt{x}) \): область определения определяется из условия \( -9 \leq \sqrt{x} \leq 1 \), при этом \( \sqrt{x} \geq 0 \), что дает \( 0 \leq x \leq 1 \). Ответ: \( D(y) = [0; 1] \).

6) Для \( y = g(4) \): это константа, так как аргумент фиксирован и равен 4, но поскольку \( 4 \notin [-9; 1] \), функция не определена. Ответ: область определения отсутствует, \( D(y) = \emptyset \).

1) Для функции \( y = g(x + 1) \) нам нужно найти область определения, исходя из известной области определения функции \( g \), которая равна \( D(g) = [-9; 1] \). Это означает, что аргумент функции \( g \) должен находиться в интервале от -9 до 1 включительно. В данном случае аргумент функции \( g \) — это \( x + 1 \), поэтому составляем неравенство \( -9 \leq x + 1 \leq 1 \). Решаем его: вычитаем 1 из всех частей неравенства, получаем \( -9 — 1 \leq x \leq 1 — 1 \), то есть \( -10 \leq x \leq 0 \). Таким образом, область определения функции \( y = g(x + 1) \) — это интервал \( [-10; 0] \). Ответ: \( D(y) = [-10; 0] \).

2) Для функции \( y = g\left(\frac{x}{3}\right) \) используем тот же подход. Аргумент функции \( g \) — это \( \frac{x}{3} \), и он должен удовлетворять условию \( -9 \leq \frac{x}{3} \leq 1 \). Умножаем все части неравенства на 3, чтобы избавиться от дроби: \( -9 \cdot 3 \leq x \leq 1 \cdot 3 \), что дает \( -27 \leq x \leq 3 \). Следовательно, область определения функции \( y = g\left(\frac{x}{3}\right) \) — это интервал \( [-27; 3] \). Ответ: \( D(y) = [-27; 3] \).

3) Для функции \( y = g(x^2) \) аргумент функции \( g \) — это \( x^2 \), и он должен находиться в интервале \( [-9; 1] \), то есть \( -9 \leq x^2 \leq 1 \). Поскольку \( x^2 \) всегда неотрицательно, условие \( -9 \leq x^2 \) выполняется автоматически для всех \( x \), а вот условие \( x^2 \leq 1 \) требует решения. Решаем неравенство \( x^2 \leq 1 \): это эквивалентно \( x^2 — 1 \leq 0 \), или \( (x — 1)(x + 1) \leq 0 \). Корни уравнения \( x^2 — 1 = 0 \) — это \( x = 1 \) и \( x = -1 \), и неравенство выполняется на отрезке \( -1 \leq x \leq 1 \). Таким образом, область определения функции \( y = g(x^2) \) — это интервал \( [-1; 1] \). Ответ: \( D(y) = [-1; 1] \).

4) Для функции \( y = g(|x|) \) аргумент функции \( g \) — это \( |x| \), и он должен удовлетворять условию \( -9 \leq |x| \leq 1 \). Поскольку \( |x| \geq 0 \), левая часть неравенства \( -9 \leq |x| \) всегда выполняется, а правая часть \( |x| \leq 1 \) требует решения. Неравенство \( |x| \leq 1 \) эквивалентно \( -1 \leq x \leq 1 \). Следовательно, область определения функции \( y = g(|x|) \) — это интервал \( [-1; 1] \). Ответ: \( D(y) = [-1; 1] \).

5) Для функции \( y = g(\sqrt{x}) \) аргумент функции \( g \) — это \( \sqrt{x} \), и он должен находиться в интервале \( [-9; 1] \), то есть \( -9 \leq \sqrt{x} \leq 1 \). Поскольку \( \sqrt{x} \) определен только для \( x \geq 0 \) и всегда неотрицателен, условие \( -9 \leq \sqrt{x} \) выполняется автоматически, а условие \( \sqrt{x} \leq 1 \) требует решения. Решаем неравенство \( \sqrt{x} \leq 1 \): возводим обе части в квадрат, получаем \( x \leq 1 \). Учитывая, что \( x \geq 0 \), область определения определяется как \( 0 \leq x \leq 1 \). Таким образом, область определения функции \( y = g(\sqrt{x}) \) — это интервал \( [0; 1] \). Ответ: \( D(y) = [0; 1] \).

6) Для функции \( y = g\left(\frac{1}{x}\right) \) аргумент функции \( g \) — это \( \frac{1}{x} \), и он должен удовлетворять условию \( -9 \leq \frac{1}{x} \leq 1 \). Решаем это двойное неравенство по частям. Первое неравенство \( \frac{1}{x} \geq -9 \): умножаем обе части на \( x \), учитывая знак \( x \). Если \( x > 0 \), то \( 1 \geq -9x \), то есть \( 9x \geq -1 \), или \( x \geq -\frac{1}{9} \), но поскольку \( x > 0 \), это условие всегда выполняется. Если \( x < 0 \), то \( 1 \leq -9x \), то есть \( 9x \leq -1 \), или \( x \leq -\frac{1}{9} \). Второе неравенство \( \frac{1}{x} \leq 1 \): если \( x > 0 \), то \( 1 \leq x \), или \( x \geq 1 \); если \( x < 0 \), то \( 1 \geq x \), что всегда выполняется для отрицательных \( x \). Объединяя условия, получаем: для \( x > 0 \) — \( x \geq 1 \); для \( x < 0 \) — \( x \leq -\frac{1}{9} \). Также \( x \neq 0 \), так как \( \frac{1}{x} \) не определен при \( x = 0 \). Таким образом, область определения функции \( y = g\left(\frac{1}{x}\right) \) — это объединение интервалов \( (-\infty; -\frac{1}{9}] \cup [1; +\infty) \). Ответ: \( D(y) = (-\infty; -\frac{1}{9}] \cup [1; +\infty) \).