ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \( D(g) = [-9; 1] \). Найдите область определения функции:
1) \( y = g(x + 1) \)
2) \( y = g\left(\frac{x}{2}\right) \)
3) \( y = g(x^2) \)
4) \( y = g(-x) \)
5) \( y = g(\sqrt{x}) \)
6) \( y = g(4) \)

1) Для \( y = g(x + 1) \): область определения определяется из условия \( -9 \leq x + 1 \leq 1 \), что дает \( -10 \leq x \leq 0 \). Ответ: \( D(y) = [-10; 0] \).

2) Условие на аргумент функции \(g\): \(-9 \le \frac{1}{3}x \le 1\).

Умножим неравенство на \(3\) (знак неравенства сохраняется, так как \(3>0\)): \(-27 \le x \le 3\).

Ответ: область определения \(D(y) = [-27; 3]\).

3) Для \( y = g(x^2) \): область определения определяется из условия \( -9 \leq x^2 \leq 1 \), что дает \( x^2 \leq 1 \), то есть \( -1 \leq x \leq 1 \). Ответ: \( D(y) = [-1; 1] \).

4) Первично дано \(y=g(|x|)\). Чтобы функция была определена, аргумент \(t=|x|\) должен лежать в области определения функции \(g\).

Из условия: \(-9\le |x|\le 1\). Так как \(|x|\ge 0\), нижняя граница \(-9\) не влияет. Тогда получаем \(|x|\le 1\), что эквивалентно \(-1\le x\le 1\).

Следовательно, область определения искомой функции: \(D(y)=[-1;1]\).

5) Для \( y = g(\sqrt{x}) \): область определения определяется из условия \( -9 \leq \sqrt{x} \leq 1 \), при этом \( \sqrt{x} \geq 0 \), что дает \( 0 \leq x \leq 1 \). Ответ: \( D(y) = [0; 1] \).

6) Первый шаг: задано \(y=g\!\left(\frac{1}{x}\right)\), значит область определения определяется условиями для аргумента функции \(g\): \(-9 \le \frac{1}{x} \le 1\), при \(x \ne 0\).

решаем неравенство \(\frac{1}{x} \ge -9\).
— Для \(x>0\): умножаем, получаем \(1 \ge -9x \Rightarrow x \ge -\frac{1}{9}\). С учётом \(x>0\) имеем \(x>0\) (всё положительное подходит).
— Для \(x<0\): умножаем на отрицательное \(x\) и меняем знак: \(1 \le -9x \Rightarrow x \le -\frac{1}{9}\).

решаем неравенство \(\frac{1}{x} \le 1\).
— Для \(x>0\): \(1 \le x \Rightarrow x \ge 1\).
— Для \(x<0\): умножаем на отрицательное \(x\): \(1 \ge x \Rightarrow x \le 1\), что верно для всех \(x<0\).

пересекаем результаты двух неравенств и исключаем \(x=0\):
— При \(x<0\): из первого \(x \le -\frac{1}{9}\), из второго все \(x<0\) подходят, итого \(x \in (-\infty,-\frac{1}{9}]\).
— При \(x>0\): из первого подходит всё \(x>0\), из второго \(x \ge 1\), итого \(x \in [1,+\infty)\).

Ответ: \(D(y)=(-\infty,-\frac{1}{9}] \cup [1,+\infty)\).

1) Для функции \( y = g(x + 1) \) нам нужно найти область определения, исходя из известной области определения функции \( g \), которая равна \( D(g) = [-9; 1] \). Это означает, что аргумент функции \( g \) должен находиться в интервале от -9 до 1 включительно. В данном случае аргумент функции \( g \) — это \( x + 1 \), поэтому составляем неравенство \( -9 \leq x + 1 \leq 1 \). Решаем его: вычитаем 1 из всех частей неравенства, получаем \( -9 — 1 \leq x \leq 1 — 1 \), то есть \( -10 \leq x \leq 0 \). Таким образом, область определения функции \( y = g(x + 1) \) — это интервал \( [-10; 0] \). Ответ: \( D(y) = [-10; 0] \).

2) Дано выражение \(y = g\!\left(\frac{1}{3}x\right)\). Чтобы найти область определения функции \(y\), нужно определить, при каких значениях \(x\) аргумент функции \(g\) допустим. По условию на область определения исходной функции \(g\) задано ограничение на её аргумент: \(-9 \le \frac{1}{3}x \le 1\). Это означает, что любое значение \(x\), подставленное в \(\frac{1}{3}x\), должно попадать в промежуток, на котором \(g\) определена, иначе значение \(g\) не существует.

Преобразуем двойное неравенство \(-9 \le \frac{1}{3}x \le 1\). Умножим все три части на положительное число \(3\), чтобы избавиться от дробного коэффициента у \(x\). Поскольку умножение происходит на \(3>0\), знаки неравенств сохраняются: \(-9 \cdot 3 \le \frac{1}{3}x \cdot 3 \le 1 \cdot 3\), то есть \(-27 \le x \le 3\). Полученный промежуток описывает все значения \(x\), при которых аргумент функции \(g\) принимает допустимые значения, следовательно, именно этот промежуток и является областью определения функции \(y\).

Итак, область определения \(y\) равна множеству всех \(x\), удовлетворяющих \(-27 \le x \le 3\). Запишем ответ в стандартной форме: \(D(y) = [-27; 3]\).

3) Для функции \( y = g(x^2) \) аргумент функции \( g \) — это \( x^2 \), и он должен находиться в интервале \( [-9; 1] \), то есть \( -9 \leq x^2 \leq 1 \). Поскольку \( x^2 \) всегда неотрицательно, условие \( -9 \leq x^2 \) выполняется автоматически для всех \( x \), а вот условие \( x^2 \leq 1 \) требует решения. Решаем неравенство \( x^2 \leq 1 \): это эквивалентно \( x^2 — 1 \leq 0 \), или \( (x — 1)(x + 1) \leq 0 \). Корни уравнения \( x^2 — 1 = 0 \) — это \( x = 1 \) и \( x = -1 \), и неравенство выполняется на отрезке \( -1 \leq x \leq 1 \). Таким образом, область определения функции \( y = g(x^2) \) — это интервал \( [-1; 1] \). Ответ: \( D(y) = [-1; 1] \).

4) Функция задана как \(y=g(|x|)\). Здесь внутренняя переменная для функции \(g\) равна \(t=|x|\). Чтобы \(y\) было определено, необходимо, чтобы \(t\) принадлежал области определения функции \(g\). В условии дана информация об области допустимых значений модуля: \(-9\le |x|\le 1\). Так как модуль по определению неотрицателен, то есть \( |x|\ge 0\), левая граница \(-9\) не накладывает ограничений, и фактически остаётся требование \( |x|\le 1\).

Ограничение \( |x|\le 1\) переводится в обычное двойное неравенство для \(x\). По свойству модуля оно эквивалентно условию \( -1\le x\le 1\). Это означает, что любые значения \(x\) вне указанного отрезка приводят к \( |x|>1\), а тогда аргумент функции \(g\) выходит за её допустимую область и \(y\) становится неопределённой.

Следовательно, область определения функции \(y=g(|x|)\) состоит из всех \(x\), для которых выполняется \( -1\le x\le 1\). Итак, итоговый ответ: \(D(y)=[-1;1]\).

5) Для функции \( y = g(\sqrt{x}) \) аргумент функции \( g \) — это \( \sqrt{x} \), и он должен находиться в интервале \( [-9; 1] \), то есть \( -9 \leq \sqrt{x} \leq 1 \). Поскольку \( \sqrt{x} \) определен только для \( x \geq 0 \) и всегда неотрицателен, условие \( -9 \leq \sqrt{x} \) выполняется автоматически, а условие \( \sqrt{x} \leq 1 \) требует решения. Решаем неравенство \( \sqrt{x} \leq 1 \): возводим обе части в квадрат, получаем \( x \leq 1 \). Учитывая, что \( x \geq 0 \), область определения определяется как \( 0 \leq x \leq 1 \). Таким образом, область определения функции \( y = g(\sqrt{x}) \) — это интервал \( [0; 1] \). Ответ: \( D(y) = [0; 1] \).

6) Задача сводится к определению области допустимых значений для композиции \(y=g\!\left(\frac{1}{x}\right)\). Так как внутренняя переменная функции \(g\) равна \(\frac{1}{x}\), необходимо, чтобы \(\frac{1}{x}\) лежала в интервале, где определена \(g\). По условию этот интервал задаётся двойным неравенством \(-9 \le \frac{1}{x} \le 1\), причём \(x \ne 0\). Дальнейшие шаги заключаются в поэтапном решении двух независимых неравенств с учётом знака \(x\), потому что при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется, а при положительном — сохраняется.

Рассмотрим сначала \(\frac{1}{x} \ge -9\). Для \(x>0\) умножаем обе части на \(x\) и знак неравенства сохраняется: \(1 \ge -9x\), откуда \(-9x \le 1\) и \(x \ge -\frac{1}{9}\). С учётом \(x>0\) получаем, что все положительные \(x\) удовлетворяют этому условию. Для \(x<0\) умножаем на отрицательное \(x\), меняя знак: \(1 \le -9x\), что даёт \(-9x \ge 1\) и \(x \le -\frac{1}{9}\). Итак, из первого неравенства получаем два подинтервала: \(x \in (-\infty,-\frac{1}{9}]\) для отрицательных \(x\) и весь луч \(x>0\) для положительных.

Теперь решим \(\frac{1}{x} \le 1\). Для \(x>0\) умножаем на положительное \(x\) без изменения знака: \(1 \le x\), следовательно \(x \ge 1\). Для \(x<0\) умножаем на отрицательное \(x\) с изменением знака: \(1 \ge x\), что истинно для всех \(x<0\). Значит из второго неравенства имеем: для отрицательных \(x\) нет дополнительного ограничения (кроме \(x<0\)), для положительных \(x\) требуется \(x \ge 1\).

Теперь пересечём результаты двух неравенств и исключим точку \(x=0\). Для отрицательных \(x\) первое неравенство даёт \(x \le -\frac{1}{9}\), а второе допускает все \(x<0\); пересечение равно \(x \in (-\infty,-\frac{1}{9}]\). Для положительных \(x\) первое неравенство допускает все \(x>0\), а второе требует \(x \ge 1\); пересечение равно \(x \in [1,+\infty)\). Объединяя эти два непересекающихся множества и учитывая запрет \(x=0\), получаем область определения композиции.

Ответ: \(D(y)=(-\infty,-\frac{1}{9}] \cup [1,+\infty)\).