ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите, не выполняя построения, точки пересечения графика функции с осями координат:
1) \( f(x) = 20 + 4x \)
2) \( \phi(x) = x^2 + 2x — 3 \)
\( 3x — 5 \)

1) Для функции \( f(x) = 20 + 4x \):
Пересечение с осью ординат: \( f(0) = 20 + 4 \cdot 0 = 20 \), то есть точка \( (0; 20) \).
Пересечение с осью абсцисс: \( 20 + 4x = 0 \), \( 4x = -20 \), \( x = -5 \), то есть точка \( (-5; 0) \).
Ответ: \( (0; 20) \), \( (-5; 0) \).

2) Для функции \( \phi(x) = \frac{x^2 + 2x — 3}{3x — 5} \):
Пересечение с осью ординат: \( \phi(0) = \frac{0^2 + 2 \cdot 0 — 3}{3 \cdot 0 — 5} = \frac{-3}{-5} = \frac{3}{5} \), то есть точка \( (0; \frac{3}{5}) \).
Пересечение с осью абсцисс: числитель равен нулю, \( x^2 + 2x — 3 = 0 \), дискриминант \( D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 + 12 = 16 \), тогда \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \), \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -3 \).
Проверяем знаменатель: при \( x = 1 \), \( 3 \cdot 1 — 5 = -2 \neq 0 \); при \( x = -3 \), \( 3 \cdot (-3) — 5 = -14 \neq 0 \).
Точки пересечения: \( (1; 0) \), \( (-3; 0) \).
Ответ: \( (0; \frac{3}{5}) \), \( (1; 0) \), \( (-3; 0) \).

1) Рассмотрим функцию \( f(x) = 20 + 4x \). Чтобы найти точки пересечения графика этой функции с осями координат, нам нужно определить, где график пересекает ось ординат (ось \( y \)) и ось абсцисс (ось \( x \)).

Для начала найдем пересечение с осью ординат. Это происходит при \( x = 0 \). Подставим это значение в функцию: \( f(0) = 20 + 4 \cdot 0 = 20 \). Таким образом, точка пересечения с осью \( y \) имеет координаты \( (0; 20) \).

Теперь найдем пересечение с осью абсцисс. Это происходит, когда значение функции равно нулю, то есть \( f(x) = 0 \). Решаем уравнение: \( 20 + 4x = 0 \). Вычтем 20 из обеих сторон: \( 4x = -20 \). Затем разделим обе стороны на 4: \( x = -5 \). Таким образом, точка пересечения с осью \( x \) имеет координаты \( (-5; 0) \).

Ответ для первой функции: точки пересечения — \( (0; 20) \) и \( (-5; 0) \).

2) Теперь рассмотрим функцию \( \phi(x) = \frac{x^2 + 2x — 3}{3x — 5} \). Нам также нужно найти точки пересечения графика этой функции с осями координат.

Сначала определим пересечение с осью ординат, подставив \( x = 0 \) в функцию. Получаем: \( \phi(0) = \frac{0^2 + 2 \cdot 0 — 3}{3 \cdot 0 — 5} = \frac{-3}{-5} = \frac{3}{5} \). Таким образом, точка пересечения с осью \( y \) имеет координаты \( (0; \frac{3}{5}) \).

Далее найдем пересечение с осью абсцисс. Для этого значение функции должно быть равно нулю, то есть \( \phi(x) = 0 \). Это происходит, когда числитель дроби равен нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю). Решаем уравнение числителя: \( x^2 + 2x — 3 = 0 \). Вычислим дискриминант: \( D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 + 12 = 16 \). Корень из дискриминанта: \( \sqrt{16} = 4 \). Тогда корни уравнения: \( x = \frac{-2 \pm 4}{2 \cdot 1} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{-2 — 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \). Таким образом, возможные точки пересечения — \( x = 1 \) и \( x = -3 \).

Теперь проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при этих значениях \( x \). Для \( x = 1 \): \( 3 \cdot 1 — 5 = 3 — 5 = -2 \neq 0 \). Для \( x = -3 \): \( 3 \cdot (-3) — 5 = -9 — 5 = -14 \neq 0 \). Знаменатель не равен нулю в обоих случаях, значит, обе точки являются решениями. Точки пересечения с осью \( x \): \( (1; 0) \) и \( (-3; 0) \).

Ответ для второй функции: точки пересечения — \( (0; \frac{3}{5}) \), \( (1; 0) \) и \( (-3; 0) \).