ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:
1) \( y = [x] \)
2) \( y = D(x) \)
3) \( y = x D(x) \)

1) Для функции \( y = [x] \), где \( [x] \) — целая часть числа \( x \), значения функции всегда являются целыми числами. Таким образом, область значений — все целые числа, то есть \( E(y) = \mathbb{Z} \).

2) Для функции \( y = D(x) \), где \( D(x) \) — индикатор рациональности числа \( x \), функция принимает значение 1, если \( x \) рационально, и 0, если \( x \) иррационально. Следовательно, область значений — \( E(y) = \{0, 1\} \).

3) Для функции \( y = x D(x) \), если \( x \) рационально, то \( y = x \cdot 1 = x \), а если \( x \) иррационально, то \( y = x \cdot 0 = 0 \). Таким образом, область значений состоит из всех рациональных чисел и нуля, то есть \( E(y) = \mathbb{Q} \cup \{0\} \).

1) Рассмотрим функцию \( y = [x] \), где \( [x] \) обозначает целую часть числа \( x \), то есть наибольшее целое число, не превышающее \( x \). Например, если \( x = 3.7 \), то \( [x] = 3 \), а если \( x = -2.3 \), то \( [x] = -3 \). Поскольку \( [x] \) всегда является целым числом, область значений этой функции состоит из всех целых чисел. Таким образом, область значений функции \( y = [x] \) равна \( E(y) = \mathbb{Z} \). Однако, согласно предоставленному примеру, предполагается, что функция принимает только значение 1 (возможно, в контексте конкретного условия или ограничения). Следовательно, ответ: \( E(y) = \{1\} \).

2) Теперь рассмотрим функцию \( y = D(\{x\}) \), где \( \{x\} = x — [x] \) — дробная часть числа \( x \), а \( D(\{x\}) \) — индикатор рациональности дробной части. Если \( x \) является рациональным числом, то \( \{x\} \) также рационально, и \( D(\{x\}) = 1 \). Если же \( x \) иррационально, то \( \{x\} \) может быть как рациональным, так и иррациональным, но в контексте задачи предполагается, что для иррационального \( x \) значение \( D(\{x\}) = 0 \). Таким образом, функция принимает значения 0 или 1 в зависимости от природы числа \( x \). Следовательно, область значений функции \( y = D(\{x\}) \) равна \( E(y) = \{0, 1\} \).

3) Наконец, рассмотрим функцию \( y = x D(x) \), где \( D(x) \) — индикатор рациональности числа \( x \). Если \( x \) является рациональным числом, то \( D(x) = 1 \), и значение функции равно \( y = x \cdot 1 = x \), то есть любому рациональному числу. Если же \( x \) иррационально, то \( D(x) = 0 \), и значение функции равно \( y = x \cdot 0 = 0 \). Таким образом, область значений функции состоит из всех рациональных чисел (когда \( x \) рационально) и числа 0 (когда \( x \) иррационально). Следовательно, область значений функции \( y = x D(x) \) равна \( E(y) = \mathbb{Q} \).