ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:
1) \( y = [F(x)] \)
2) \( y = \{D(x)\} \)

1) Для функции \( y = [F(x)] \): если \( x \in \mathbb{Q} \), то \( [F(x)] = [1] = 1 \); если \( x \notin \mathbb{Q} \), то \( [F(x)] = [0] = 0 \). Таким образом, область значений \( E(y) = \{0, 1\} \).

2) Для функции \( y = \{D(x)\} \): если \( x \in \mathbb{Q} \), то \( \{D(x)\} = \{1\} = 0 \); если \( x \notin \mathbb{Q} \), то \( \{D(x)\} = \{0\} = 0 \). Таким образом, область значений \( E(y) = \{0\} \).

1) Рассмотрим функцию \( y = [D(x)] \). Для определения области значений функции необходимо понять, какие значения может принимать \( y \) при различных \( x \). Функция \( D(x) \) определена так, что \( D(x) = 1 \), если \( x \in \mathbb{Q} \) (рациональное число), и \( D(x) = 0 \), если \( x \notin \mathbb{Q} \) (иррациональное число). Символ \( [ \cdot ] \) обозначает целую часть числа, то есть наибольшее целое число, не превышающее аргумент.

Если \( x \in \mathbb{Q} \), то \( D(x) = 1 \), и, следовательно, \( [D(x)] = [1] = 1 \). Это означает, что для всех рациональных \( x \) значение функции \( y = 1 \).

Если \( x \notin \mathbb{Q} \), то \( D(x) = 0 \), и, следовательно, \( [D(x)] = [0] = 0 \). Это означает, что для всех иррациональных \( x \) значение функции \( y = 0 \).

Таким образом, функция \( y = [D(x)] \) принимает только два значения: \( 0 \) и \( 1 \). Других значений функция не принимает, так как \( D(x) \) ограничена значениями \( 0 \) и \( 1 \). Поэтому область значений функции \( E(y) = \{0, 1\} \).

2) Теперь рассмотрим функцию \( y = \{D(x)\} \). Здесь \( \{ \cdot \} \) обозначает дробную часть числа, то есть \( \{z\} = z — [z] \), где \( [z] \) — целая часть числа \( z \). Как и в предыдущем случае, \( D(x) = 1 \), если \( x \in \mathbb{Q} \), и \( D(x) = 0 \), если \( x \notin \mathbb{Q} \).

Если \( x \in \mathbb{Q} \), то \( D(x) = 1 \), и дробная часть \( \{D(x)\} = \{1\} = 1 — [1] = 1 — 1 = 0 \). Это означает, что для всех рациональных \( x \) значение функции \( y = 0 \).

Если \( x \notin \mathbb{Q} \), то \( D(x) = 0 \), и дробная часть \( \{D(x)\} = \{0\} = 0 — [0] = 0 — 0 = 0 \). Это означает, что для всех иррациональных \( x \) значение функции также \( y = 0 \).

Таким образом, функция \( y = \{D(x)\} \) принимает только одно значение: \( 0 \). Независимо от того, является ли \( x \) рациональным или иррациональным, результат всегда равен \( 0 \). Поэтому область значений функции \( E(y) = \{0\} \).