ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:
1) \( y = D(D(x)) \)
2) \( y = \{[x]\} \)
3) \( y = \sqrt{1 — [x]} \)

1) Для функции \( y = D(D(x)) \), где \( D(x) = 1 \), если \( x \in \mathbb{Q} \), и \( D(x) = 0 \), если \( x \notin \mathbb{Q} \), получаем \( D(D(x)) = D(1) = 1 \) для рациональных \( x \) и \( D(D(x)) = D(0) = 1 \) для иррациональных \( x \). Таким образом, \( y = 1 \) для всех \( x \). График — горизонтальная линия на уровне \( y = 1 \).

2) Для функции \( y = \{[x]\} \), где \( [x] \) — целая часть числа, всегда \( [x] \in \mathbb{Z} \), а дробная часть целого числа равна 0. Следовательно, \( y = 0 \) для всех \( x \). График — горизонтальная линия на уровне \( y = 0 \).

3) Для функции \( y = \sqrt{1 — [x]} \), выражение под корнем должно быть неотрицательным: \( 1 — [x] \geq 0 \), то есть \( [x] \leq 1 \). Также \( x \geq -1 \), так как \( [x] \geq -1 \). Значит, область определения: \( -1 \leq x < 2 \). Вычисляем: при \( -1 \leq x < 0 \) \( [x] = -1 \), \( y = \sqrt{1 — (-1)} = \sqrt{2} \); при \( 0 \leq x < 1 \) \( [x] = 0 \), \( y = \sqrt{1 — 0} = 1 \); при \( 1 \leq x

< 2 \) \( [x] = 1 \), \( y = \sqrt{1 — 1} = 0 \). График — ступенчатая функция с указанными значениями на соответствующих интервалах.

1) Рассмотрим функцию \( y = D(D(x)) \). Здесь функция \( D(x) \) определена как \( D(x) = 1 \), если \( x \in \mathbb{Q} \) (рациональное число), и \( D(x) = 0 \), если \( x \notin \mathbb{Q} \) (иррациональное число). Нам нужно вычислить значение \( D(D(x)) \), то есть применить функцию \( D \) дважды.

Для начала разберем случай, когда \( x \in \mathbb{Q} \). В этом случае \( D(x) = 1 \), а поскольку 1 является рациональным числом, то \( D(D(x)) = D(1) = 1 \). Теперь рассмотрим случай, когда \( x \notin \mathbb{Q} \). Тогда \( D(x) = 0 \), а 0 также является рациональным числом, поэтому \( D(D(x)) = D(0) = 1 \).

Таким образом, независимо от того, является ли \( x \) рациональным или иррациональным числом, значение функции \( y = D(D(x)) \) всегда равно 1. Следовательно, график этой функции представляет собой горизонтальную прямую линию на уровне \( y = 1 \) для всех значений \( x \).

2) Перейдем к функции \( y = \{[x]\} \), где \( [x] \) обозначает целую часть числа \( x \), а \( \{ \cdot \} \) — дробную часть. Напомним, что \( [x] \) — это наибольшее целое число, не превосходящее \( x \), и всегда \( [x] \in \mathbb{Z} \).

Поскольку \( [x] \) является целым числом, его дробная часть всегда равна 0, то есть \( \{[x]\} = 0 \). Это справедливо для любого значения \( x \), будь то целое, рациональное или иррациональное число. Таким образом, значение функции \( y = \{[x]\} \) всегда равно 0.

График этой функции представляет собой горизонтальную прямую линию на уровне \( y = 0 \) для всех значений \( x \), так как функция не принимает других значений.

3) Рассмотрим функцию \( y = \sqrt{1 — [x]^2} \), где \( [x] \) снова обозначает целую часть числа \( x \). Сначала определим область определения функции, так как выражение под корнем должно быть неотрицательным.

Условие \( 1 — [x]^2 \geq 0 \) эквивалентно \( [x]^2 \leq 1 \). Поскольку \( [x] \) — целое число, возможные значения \( [x] \), удовлетворяющие этому условию, равны \( -1, 0, 1 \). Это означает, что \( x \) находится в диапазоне \( -1 \leq x < 2 \), так как: при \( -1 \leq x < 0 \) \( [x] = -1 \), при \( 0 \leq x < 1 \) \( [x] = 0 \), а при \( 1 \leq x < 2 \) \( [x] = 1 \).

Теперь вычислим значения функции на этих интервалах. Если \( -1 \leq x < 0 \), то \( [x] = -1 \), и \( y = \sqrt{1 — (-1)^2} = \sqrt{1 — 1} = \sqrt{0} = 0 \). Если \( 0 \leq x < 1 \), то \( [x] = 0 \), и \( y = \sqrt{1 — 0^2} = \sqrt{1} = 1 \). Если \( 1 \leq x < 2 \), то \( [x] = 1 \), и \( y = \sqrt{1 — 1^2} = \sqrt{1 — 1} = \sqrt{0} = 0 \).

Таким образом, график функции \( y = \sqrt{1 — [x]^2} \) является ступенчатым: на интервале \( -1 \leq x < 0 \) значение \( y = 0 \), на интервале \( 0 \leq x < 1 \) значение \( y = 1 \), на интервале \( 1 \leq x < 2 \) значение \( y = 0 \). За пределами интервала \( -1 \leq x < 2 \) функция не определена, так как выражение под корнем становится отрицательным.