ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = [\{x\}] \)

2) \( y = [[x]] (\{x\} — 1) \)

1) Для функции \( y = [\{x\}] \), где \( \{x\} \) — дробная часть числа \( x \), значение \( \{x\} \) всегда находится в диапазоне \( [0, 1) \). Следовательно, \( [\{x\}] = 0 \), так как целая часть числа меньше 1 равна 0. График функции представляет собой горизонтальную линию \( y = 0 \) для всех \( x \).

2) Для функции \( y = [[x]] (\{x\} — 1) \), где \( [x] \) — целая часть числа \( x \), а \( \{x\} \) — дробная часть, рассмотрим условие \( \{x\} (\{x\} — 1) \geq 0 \). Это выполняется при \( \{x\} = 0 \) (т.е. \( x \) — целое число) или \( \{x\} \geq 1 \), но поскольку \( \{x\} < 1 \), единственное решение — \( x \in \mathbb{Z} \). В этом случае \( \{x\} = 0 \), и \( y = [x] \cdot (0 — 1) = -[x] \). График функции состоит из точек вида \( (n, -n) \), где \( n \) — целое число.

1) Рассмотрим функцию \( y = [\{x\}] \), где \( \{x\} \) обозначает дробную часть числа \( x \). Дробная часть числа \( x \) определяется как \( \{x\} = x — [x] \), где \( [x] \) — целая часть числа \( x \). По определению, дробная часть всегда находится в диапазоне \( 0 \leq \{x\} < 1 \). Это означает, что \( \{x\} \) никогда не достигает значения 1 и всегда меньше 1.

Следовательно, целая часть дробной части, то есть \( [\{x\}] \), всегда равна 0, так как \( \{x\} \) находится в интервале \( [0, 1) \). Таким образом, значение функции \( y = [\{x\}] = 0 \) для всех действительных чисел \( x \). График этой функции представляет собой горизонтальную линию, совпадающую с осью абсцисс, то есть \( y = 0 \), на всей числовой прямой.

2) Теперь рассмотрим функцию \( y = [x] (\{x\} — 1) \), где \( [x] \) — целая часть числа \( x \), а \( \{x\} \) — дробная часть числа \( x \). Сначала определим область определения функции. Поскольку в условии задачи указано, что выражение имеет смысл при определенных условиях, предположим, что требуется \( \{x\} (\{x\} — 1) \geq 0 \), как указано в примере.

Решим неравенство \( \{x\} (\{x\} — 1) \geq 0 \). Обозначим \( t = \{x\} \), где \( 0 \leq t < 1 \). Тогда неравенство принимает вид \( t (t — 1) \geq 0 \). Корни уравнения \( t (t — 1) = 0 \) равны \( t = 0 \) и \( t = 1 \). Поскольку \( t < 1 \), точка \( t = 1 \) не входит в область определения. Построим знак функции \( t (t — 1) \) на интервале \( [0, 1) \): при \( t = 0 \) значение равно 0, а при \( 0 < t < 1 \) значение \( t — 1 < 0 \), значит \( t (t — 1) < 0 \). Таким образом, неравенство \( t (t — 1) \geq 0 \) выполняется только при \( t = 0 \).

Значение \( t = 0 \) соответствует случаю, когда \( \{x\} = 0 \), то есть \( x \) является целым числом. Следовательно, функция определена только для целых значений \( x \), то есть \( x \in \mathbb{Z} \). Подставим \( \{x\} = 0 \) в выражение функции: \( y = [x] (\{x\} — 1) = [x] (0 — 1) = -[x] \). Поскольку \( x \) целое, то \( [x] = x \), и получаем \( y = -x \).

Таким образом, функция принимает значения только в точках с целыми координатами \( x = n \), где \( n \in \mathbb{Z} \), и соответствующее значение \( y = -n \). График функции состоит из отдельных точек вида \( (n, -n) \), расположенных на прямой \( y = -x \), но только в целочисленных значениях аргумента.