ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = \text{sgn}(x + 1) \)

2) \( y = \text{sgn}(1 — x^2) \)

1) Для функции \( y = \text{sgn}(x + 1) \): функция принимает значение 1, когда \( x + 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq -1 \), значение 0 при \( x + 1 = 0 \), и -1, когда \( x + 1 < 0 \), то есть \( x < -1 \). График: горизонтальная линия \( y = 1 \) при \( x \geq -1 \), и \( y = -1 \) при \( x < -1 \), с разрывом в точке \( x = -1 \).

2) Для функции \( y = \text{sgn}(1 — x^2) \): функция равна 1, когда \( 1 — x^2 \geq 0 \), то есть \( x^2 \leq 1 \), или \( -1 \leq x \leq 1 \); равна 0 при \( 1 — x^2 = 0 \), то есть \( x = \pm 1 \); и равна -1, когда \( 1 — x^2 < 0 \), то есть \( x^2 > 1 \), или \( x < -1 \) и \( x > 1 \). График: \( y = 1 \) на отрезке \( -1 \leq x \leq 1 \), \( y = -1 \) при \( x < -1 \) и \( x > 1 \), с разрывами в точках \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

1) Рассмотрим функцию \( y = \text{sgn}(x + 1) \). Функция знака (\( \text{sgn} \)) принимает три возможных значения в зависимости от выражения внутри: если выражение положительное, то \( y = 1 \); если выражение равно нулю, то \( y = 0 \); если выражение отрицательное, то \( y = -1 \). В данном случае выражение внутри функции — это \( x + 1 \).

Для определения областей, где функция принимает различные значения, решим неравенство \( x + 1 \geq 0 \). Это дает нам \( x \geq -1 \). Таким образом, при \( x \geq -1 \) значение функции \( y = 1 \). При \( x + 1 < 0 \), то есть \( x < -1 \), значение функции будет \( y = -1 \). В точке \( x = -1 \) выражение \( x + 1 = 0 \), но поскольку функция знака в этой точке не определена однозначно, обычно считается разрыв.

График функции будет выглядеть следующим образом: на интервале \( x < -1 \) функция принимает значение \( y = -1 \), то есть это горизонтальная линия ниже оси \( x \). На интервале \( x \geq -1 \) функция принимает значение \( y = 1 \), то есть это горизонтальная линия выше оси \( x \). В точке \( x = -1 \) происходит скачок с \( y = -1 \) на \( y = 1 \).

2) Теперь рассмотрим функцию \( y = \text{sgn}(1 — x^2) \). Здесь выражение внутри функции знака — это \( 1 — x^2 \). Аналогично предыдущему случаю, функция принимает значение 1, если \( 1 — x^2 > 0 \), значение 0, если \( 1 — x^2 = 0 \), и значение -1, если \( 1 — x^2 < 0 \).

Решим неравенство \( 1 — x^2 \geq 0 \). Это эквивалентно \( x^2 \leq 1 \). Корни уравнения \( x^2 = 1 \) — это \( x = 1 \) и \( x = -1 \). Поскольку \( x^2 \) — парабола, открытая вверх, выражение \( x^2 \leq 1 \) выполняется на отрезке \( -1 \leq x \leq 1 \). Таким образом, на этом интервале \( y = 1 \).

Далее, если \( 1 — x^2 < 0 \), то есть \( x^2 > 1 \), что соответствует значениям \( x < -1 \) или \( x > 1 \), то функция принимает значение \( y = -1 \). В точках \( x = -1 \) и \( x = 1 \) выражение \( 1 — x^2 = 0 \), но, как и в предыдущем случае, обычно считается разрыв.

График функции будет следующим: на интервале \( -1 \leq x \leq 1 \) функция принимает значение \( y = 1 \), то есть это горизонтальный отрезок выше оси \( x \). На интервалах \( x < -1 \) и \( x > 1 \) функция принимает значение \( y = -1 \), то есть это две горизонтальные линии ниже оси \( x \). В точках \( x = -1 \) и \( x = 1 \) происходят скачки с \( y = 1 \) на \( y = -1 \).