ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = \text{sgn}(1 — x) \)

2) \( y = \text{sgn}(x^2 — 4) \)

1) Для функции \( y = \text{sgn}(1 — x) \):
Функция \( \text{sgn} \) возвращает 1, если аргумент положительный, 0, если равен нулю, и -1, если отрицательный. Здесь аргумент \( 1 — x \geq 0 \) при \( x \leq 1 \), значит \( y = 1 \) при \( x \leq 1 \), и \( y = -1 \) при \( x > 1 \). График будет ступенчатым: линия на уровне \( y = 1 \) для \( x \leq 1 \) и на уровне \( y = -1 \) для \( x > 1 \), с разрывом в точке \( x = 1 \).

2) Для функции \( y = \text{sgn}(x^2 — 4) \):
Аргумент \( x^2 — 4 \geq 0 \) при \( x \leq -2 \) или \( x \geq 2 \), значит \( y = 1 \) в этих областях. При \( -2 < x < 2 \) аргумент отрицательный, значит \( y = -1 \). График: \( y = 1 \) при \( x \leq -2 \) и \( x \geq 2 \), \( y = -1 \) при \( -2 < x < 2 \), с разрывами в точках \( x = -2 \) и \( x = 2 \).

1) Рассмотрим функцию \( y = \text{sgn}(1 — x) \). Функция \( \text{sgn}(z) \) определяется как знак аргумента \( z \): она равна 1, если \( z > 0 \), 0, если \( z = 0 \), и -1, если \( z < 0 \). В данном случае аргумент функции — это выражение \( 1 — x \). Нам нужно определить, при каких значениях \( x \) этот аргумент положителен, равен нулю или отрицателен.

Для этого решим неравенство \( 1 — x > 0 \). Преобразуем его: \( 1 > x \), или \( x < 1 \). Значит, при \( x < 1 \) аргумент положителен, и \( y = 1 \). Если \( 1 — x = 0 \), то есть \( x = 1 \), то \( y = 0 \). Если \( 1 — x < 0 \), то есть \( x > 1 \), то \( y = -1 \).

Таким образом, функция принимает значение \( y = 1 \) при \( x < 1 \), \( y = 0 \) при \( x = 1 \), и \( y = -1 \) при \( x > 1 \). График этой функции будет представлять собой ступенчатую линию: на интервале \( x < 1 \) линия находится на уровне \( y = 1 \), в точке \( x = 1 \) значение равно 0 (обычно это обозначается отдельной точкой), а при \( x > 1 \) линия опускается на уровень \( y = -1 \).

Важно отметить, что функция \( \text{sgn} \) имеет разрывы в точках, где аргумент равен нулю, но в контексте построения графика это обычно не мешает визуализации. График полностью соответствует описанию из условия: линия на уровне 1 до точки \( x = 1 \), и на уровне -1 после.

2) Теперь рассмотрим функцию \( y = \text{sgn}(x^2 — 4) \). Снова обратимся к определению функции \( \text{sgn}(z) \): она равна 1, если \( z > 0 \), 0, если \( z = 0 \), и -1, если \( z < 0 \). Здесь аргумент — это выражение \( x^2 — 4 \), которое можно представить как \( (x — 2)(x + 2) \). Нам нужно найти, при каких значениях \( x \) этот аргумент положителен, равен нулю или отрицателен.

Решим неравенство \( x^2 — 4 > 0 \). Это эквивалентно \( x^2 > 4 \), что дает \( x < -2 \) или \( x > 2 \). Значит, при \( x < -2 \) или \( x > 2 \) аргумент положителен, и \( y = 1 \). Если \( x^2 — 4 = 0 \), то есть \( x = -2 \) или \( x = 2 \), то \( y = 0 \). Если \( x^2 — 4 < 0 \), то есть при \( -2 < x < 2 \), аргумент отрицателен, и \( y = -1 \).

Таким образом, функция принимает значение \( y = 1 \) при \( x < -2 \) и при \( x > 2 \), \( y = 0 \) в точках \( x = -2 \) и \( x = 2 \), и \( y = -1 \) на интервале \( -2 < x < 2 \). График этой функции также будет ступенчатым: на интервалах \( x < -2 \) и \( x > 2 \) линия находится на уровне \( y = 1 \), в точках \( x = -2 \) и \( x = 2 \) значение равно 0, а на интервале \( -2 < x < 2 \) линия находится на уровне \( y = -1 \).

График соответствует описанию из условия: значения 1 вне интервала от -2 до 2, и значение -1 внутри этого интервала. Разрывы в точках \( x = -2 \) и \( x = 2 \) характерны для функции \( \text{sgn} \), и это отображается на графике как резкие переходы между уровнями.