ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Функция задана описательно: каждому целому числу поставлен в соответствие остаток от деления квадрата этого числа на 5. Постройте график этой функции.

Для построения графика функции, заданной как остаток от деления квадрата числа на 5, рассмотрим целые числа \(x\) и вычислим \(y = (x^2) \mod 5\).

Пусть \(x = 5n + k\), где \(n \in \mathbb{Z}\), а \(k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\). Тогда \(x^2 = (5n + k)^2 = 25n^2 + 10nk + k^2 = 5(5n^2 + 2nk) + k^2\), и остаток зависит только от \(k^2 \mod 5\). Вычислим возможные значения:

Функция периодична с периодом 5, так как остатки повторяются каждые 5 чисел. График строится как набор точек, где для каждого \(x\) значение \(y\) берется из таблицы выше в зависимости от остатка \(x \mod 5\). Точки соединяются только для наглядности, но функция дискретна.

1) Пусть функция задана описательно: каждому целому числу \(x\) поставлен в соответствие остаток от деления квадрата этого числа на 5, то есть \(y = (x^2) \mod 5\). Чтобы определить значения функции, представим любое целое число \(x\) в виде \(x = 5n + k\), где \(n \in \mathbb{Z}\), а \(k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\) — это остаток от деления \(x\) на 5. Тогда квадрат числа \(x\) будет равен \(x^2 = (5n + k)^2 = 25n^2 + 10nk + k^2\). Это выражение можно переписать как \(x^2 = 5(5n^2 + 2nk) + k^2\), откуда видно, что остаток от деления \(x^2\) на 5 зависит только от \(k^2 \mod 5\).

2) Теперь вычислим все возможные остатки \(k^2 \mod 5\) для значений \(k\) от 0 до 4. Составим таблицу значений:

Из таблицы видно, что возможные значения функции \(y\) — это 0, 1 и 4. Для \(k = 0\) остаток равен 0, для \(k = 1\) — 1, для \(k = 2\) — 4, для \(k = 3\) — 4, а для \(k = 4\) — 1.

3) Период функции определяется количеством возможных остатков \(k\), то есть числом 5. Это означает, что значения функции повторяются каждые 5 единиц по оси \(x\). Например, для \(x = 0, 5, 10, \dots\) значение \(y = 0\), для \(x = 1, 6, 11, \dots\) значение \(y = 1\), и так далее. Таким образом, период функции равен 5.

4) График функции строится как набор точек с целочисленными координатами \(x\), где \(y\) принимает значения из множества \{0, 1, 4\} в зависимости от остатка \(x \mod 5\). Для наглядности можно рассмотреть значения \(x\) от -6 до 6. Например, при \(x = -2\) остаток \(k = 3\) (так как \(-2 \mod 5 = 3\)), и \(y = 4\); при \(x = 0\) остаток \(k = 0\), и \(y = 0\); при \(x = 1\) остаток \(k = 1\), и \(y = 1\). График представляет собой дискретные точки, повторяющиеся с периодом 5, и не является непрерывной линией.