Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Функция задана описательно: каждому целому числу поставлен в соответствие остаток от деления квадрата этого числа на 3. Постройте график этой функции.
Для построения графика функции, где каждому целому числу \(x\) соответствует остаток от деления \(x^2\) на 3, рассмотрим поведение функции. Вычислим значения для нескольких \(x\): если \(x = 0\), то \(x^2 = 0\), остаток \(0\); если \(x = 1\), то \(x^2 = 1\), остаток \(1\); если \(x = 2\), то \(x^2 = 4\), остаток \(1\); если \(x = 3\), то \(x^2 = 9\), остаток \(0\). Заметим, что остаток зависит от \(x \mod 3\), так как \(x = 3n + k\), где \(k = 0, 1, 2\), и \(x^2 = (3n + k)^2 = 9n^2 + 6nk + k^2\), а остаток определяется только \(k^2 \mod 3\). Таким образом, функция периодична с периодом 3. Возможные значения функции: для \(k = 0\) остаток \(0\), для \(k = 1\) остаток \(1\), для \(k = 2\) остаток \(1\).
График функции представляет собой точки с целочисленными координатами \(x\), где значения \(y\) повторяются каждые 3 единицы по \(x\): \(y = 0\) при \(x \equiv 0 \pmod{3}\), и \(y = 1\) при \(x \equiv 1 \pmod{3}\) или \(x \equiv 2 \pmod{3}\).
1) Пусть функция задана так, что каждому целому числу \(x\) соответствует остаток от деления \(x^2\) на 3. Для анализа функции представим \(x\) в виде \(x = 3n + k\), где \(n \in \mathbb{Z}\), а \(k \in \{0, 1, 2\}\). Тогда \(x^2 = (3n + k)^2 = 9n^2 + 6nk + k^2 = 3(3n^2 + 2nk) + k^2\). Отсюда видно, что остаток от деления \(x^2\) на 3 зависит только от \(k^2 \mod 3\), то есть от остатка \(x \mod 3\).
2) Рассмотрим все возможные значения \(k\) и соответствующие остатки \(k^2 \mod 3\). Для \(k = 0\): \(k^2 = 0\), остаток \(0\); для \(k = 1\): \(k^2 = 1\), остаток \(1\); для \(k = 2\): \(k^2 = 4\), остаток \(1\) (так как \(4 — 3 = 1\)). Таким образом, значения функции могут быть только \(0\) или \(1\), в зависимости от \(x \mod 3\).
| \(k\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \(k^2\) | 0 | 1 | 4 |
| \(k^2 \mod 3\) | 0 | 1 | 1 |
3) Период функции определяется количеством возможных остатков \(k\), то есть период равен 3. Это означает, что значения функции повторяются каждые 3 единицы по \(x\): если \(x \equiv 0 \pmod{3}\), то \(y = 0\); если \(x \equiv 1 \pmod{3}\) или \(x \equiv 2 \pmod{3}\), то \(y = 1\).
4) График функции представляет собой набор точек с целочисленными значениями \(x\), где \(y\) принимает значения \(0\) или \(1\) в соответствии с остатком \(x \mod 3\). На координатной плоскости это выглядит как периодическая последовательность точек, повторяющаяся каждые 3 единицы по оси \(x\), с высотой \(y = 0\) для \(x \equiv 0 \pmod{3}\) и \(y = 1\) для \(x \equiv 1 \pmod{3}\) или \(x \equiv 2 \pmod{3}\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.