ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите, не выполняя построения, точки пересечения графика функции с осями координат:

1) \( h(x) = 9 — 10x \)

2) \( p(x) = 4x^2 + x — 3 \)

3) \( s(x) = x^2 + 2x^2 — 2 \)

1) Для функции \( h(x) = 9 — 10x \):
— Пересечение с осью ординат: \( h(0) = 9 — 10 \cdot 0 = 9 \), точка \( (0, 9) \).
— Пересечение с осью абсцисс: \( 9 — 10x = 0 \), \( x = \frac{9}{10} = 0.9 \), точка \( (0.9, 0) \).
Ответ: \( (0, 9) \), \( (0.9, 0) \).

2) Для функции \( p(x) = 4x^2 + x — 3 \):
— Пересечение с осью ординат: \( p(0) = 4 \cdot 0^2 + 0 — 3 = -3 \), точка \( (0, -3) \).
— Пересечение с осью абсцисс: \( 4x^2 + x — 3 = 0 \), дискриминант \( D = 1^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 \), корни \( x_1 = \frac{-1 — 7}{8} = -1 \), \( x_2 = \frac{-1 + 7}{8} = 0.75 \), точки \( (-1, 0) \), \( (0.75, 0) \).
Ответ: \( (0, -3) \), \( (-1, 0) \), \( (0.75, 0) \).

3) Для функции \( s(x) = x^2 + 2x^2 — 2 = 3x^2 — 2 \):
— Пересечение с осью ординат: \( s(0) = 3 \cdot 0^2 — 2 = -2 \), точка \( (0, -2) \).
— Пересечение с осью абсцисс: \( 3x^2 — 2 = 0 \), \( x^2 = \frac{2}{3} \), \( x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \), точки \( \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}, 0\right) \), \( \left(\frac{\sqrt{6}}{3}, 0\right) \).
Ответ: \( (0, -2) \), \( \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}, 0\right) \), \( \left(\frac{\sqrt{6}}{3}, 0\right) \).

1) Для функции \( h(x) = 9 — 10x \) найдем точки пересечения графика с осями координат. Сначала определим пересечение с осью ординат, то есть значение функции при \( x = 0 \). Подставим \( x = 0 \) в выражение: \( h(0) = 9 — 10 \cdot 0 = 9 \). Таким образом, точка пересечения с осью ординат — \( (0, 9) \).

Теперь найдем пересечение с осью абсцисс, то есть значение \( x \), при котором \( h(x) = 0 \). Решаем уравнение \( 9 — 10x = 0 \). Выразим \( x \): \( 10x = 9 \), значит \( x = \frac{9}{10} = 0.9 \). Таким образом, точка пересечения с осью абсцисс — \( (0.9, 0) \).

Ответ: точки пересечения — \( (0, 9) \) и \( (0.9, 0) \).

2) Для функции \( p(x) = 4x^2 + x — 3 \) определим точки пересечения с осями координат. Начнем с пересечения с осью ординат, подставив \( x = 0 \): \( p(0) = 4 \cdot 0^2 + 0 — 3 = -3 \). Таким образом, точка пересечения с осью ординат — \( (0, -3) \).

Далее найдем пересечение с осью абсцисс, решив уравнение \( 4x^2 + x — 3 = 0 \). Для этого вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 4 \), \( b = 1 \), \( c = -3 \). Получаем \( D = 1^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 \). Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня. Используем формулу корней: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Подставим значения: \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 \pm 7}{8} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{-1 — 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = 0.75 \). Таким образом, точки пересечения с осью абсцисс — \( (-1, 0) \) и \( (0.75, 0) \).

Ответ: точки пересечения — \( (0, -3) \), \( (-1, 0) \) и \( (0.75, 0) \).

3) Для функции \( s(x) = x^2 + 2 \cdot x^2 — 2 = 3x^2 — 2 \) найдем точки пересечения с осями координат. Сначала определим пересечение с осью ординат, подставив \( x = 0 \): \( s(0) = 3 \cdot 0^2 — 2 = -2 \). Таким образом, точка пересечения с осью ординат — \( (0, -2) \).

Теперь найдем пересечение с осью абсцисс, решив уравнение \( 3x^2 — 2 = 0 \). Выразим \( x^2 \): \( 3x^2 = 2 \), значит \( x^2 = \frac{2}{3} \). Тогда \( x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \). Упростим выражение: \( \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \). Таким образом, корни уравнения: \( x_1 = -\frac{\sqrt{6}}{3} \), \( x_2 = \frac{\sqrt{6}}{3} \), а точки пересечения с осью абсцисс — \( \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}, 0\right) \) и \( \left(\frac{\sqrt{6}}{3}, 0\right) \).

Ответ: точки пересечения — \( (0, -2) \), \( \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}, 0\right) \) и \( \left(\frac{\sqrt{6}}{3}, 0\right) \).