ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите, не выполняя построения, точки пересечения графика функции с осями координат:

1) \( h(x) = 9 — 10x \)

2) \( p(x) = 4x^2 + x — 3 \)

3) \( s(x) = x^2 + 2x^2 — 2 \)

1) Для функции \( h(x) = 9 — 10x \):
— Пересечение с осью ординат: \( h(0) = 9 — 10 \cdot 0 = 9 \), точка \( (0, 9) \).
— Пересечение с осью абсцисс: \( 9 — 10x = 0 \), \( x = \frac{9}{10} = 0.9 \), точка \( (0.9, 0) \).
Ответ: \( (0, 9) \), \( (0.9, 0) \).

2) Для функции \( p(x) = 4x^2 + x — 3 \):
— Пересечение с осью ординат: \( p(0) = 4 \cdot 0^2 + 0 — 3 = -3 \), точка \( (0, -3) \).
— Пересечение с осью абсцисс: \( 4x^2 + x — 3 = 0 \), дискриминант \( D = 1^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 \), корни \( x_1 = \frac{-1 — 7}{8} = -1 \), \( x_2 = \frac{-1 + 7}{8} = 0.75 \), точки \( (-1, 0) \), \( (0.75, 0) \).
Ответ: \( (0, -3) \), \( (-1, 0) \), \( (0.75, 0) \).

3) Пересечение с осью ординат: подставим \(x=0\) в \(s(x)=\frac{x^2-2}{x^2+2}\). Получаем \(s(0)=\frac{0-2}{0+2}=\frac{-2}{2}=-1\). Точка: \((0;-1)\).

Пересечение с осью абсцисс: приравниваем \(s(x)\) к нулю: \(\frac{x^2-2}{x^2+2}=0\Rightarrow x^2-2=0\Rightarrow x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}\). Точки: \((-\sqrt{2};0)\) и \((\sqrt{2};0)\).

1) Для функции \( h(x) = 9 — 10x \) найдем точки пересечения графика с осями координат. Сначала определим пересечение с осью ординат, то есть значение функции при \( x = 0 \). Подставим \( x = 0 \) в выражение: \( h(0) = 9 — 10 \cdot 0 = 9 \). Таким образом, точка пересечения с осью ординат — \( (0, 9) \).

Теперь найдем пересечение с осью абсцисс, то есть значение \( x \), при котором \( h(x) = 0 \). Решаем уравнение \( 9 — 10x = 0 \). Выразим \( x \): \( 10x = 9 \), значит \( x = \frac{9}{10} = 0.9 \). Таким образом, точка пересечения с осью абсцисс — \( (0.9, 0) \).

Ответ: точки пересечения — \( (0, 9) \) и \( (0.9, 0) \).

2) Для функции \( p(x) = 4x^2 + x — 3 \) определим точки пересечения с осями координат. Начнем с пересечения с осью ординат, подставив \( x = 0 \): \( p(0) = 4 \cdot 0^2 + 0 — 3 = -3 \). Таким образом, точка пересечения с осью ординат — \( (0, -3) \).

Далее найдем пересечение с осью абсцисс, решив уравнение \( 4x^2 + x — 3 = 0 \). Для этого вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 4 \), \( b = 1 \), \( c = -3 \). Получаем \( D = 1^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 \). Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня. Используем формулу корней: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Подставим значения: \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 \pm 7}{8} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{-1 — 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = 0.75 \). Таким образом, точки пересечения с осью абсцисс — \( (-1, 0) \) и \( (0.75, 0) \).

Ответ: точки пересечения — \( (0, -3) \), \( (-1, 0) \) и \( (0.75, 0) \).

3) Пересечение с осью ординат находим подстановкой значения аргумента, соответствующего оси \(Oy\), то есть \(x=0\), в выражение функции \(s(x)=\frac{x^{2}-2}{x^{2}+2}\). Вычисляем числитель и знаменатель отдельно: при \(x=0\) числитель равен \(0^{2}-2=-2\), а знаменатель равен \(0^{2}+2=2\). Формируем значение функции как отношение этих результатов: \(s(0)=\frac{-2}{2}=-1\). Это означает, что график функции пересекает ось ординат в точке \((0;-1)\), поскольку координата \(x\) равна нулю, а координата \(y\) совпадает со значением функции при \(x=0\).

Пересечение с осью абсцисс соответствует тем точкам графика, где значения функции равны нулю, то есть \(s(x)=0\). Для дробно-рациональной функции \(\frac{x^{2}-2}{x^{2}+2}\) нулю может быть равна только дробь, у которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому решаем уравнение числителя \(x^{2}-2=0\). Переносим константу и получаем \(x^{2}=2\). Извлекаем корень, учитывая обе возможные ветви квадратного корня, получаем \(x=\pm\sqrt{2}\). Проверяем, что знаменатель при этих \(x\) положителен: \(x^{2}+2=2+2=4\neq0\), следовательно, точки допустимы и действительно дают \(s(x)=0\).

Итак, точки пересечения с координатными осями получены: с осью ординат \((0;-1)\), а с осью абсцисс \((-\sqrt{2};0)\) и \((\sqrt{2};0)\). Эти координаты отражают стандартные шаги анализа дробно-рациональной функции: значение при \(x=0\) для пересечения с \(Oy\) и решение уравнения числителя для пересечения с \(Ox\), при условии, что знаменатель не обращается в ноль в найденных точках.