Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.43 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Найдите функцию \( f \) такую, что \( D(f) = \mathbb{R} \) и для любого \( x \in \mathbb{R} \) выполняется равенство \( f(x) + 2f(-x) = x + 1 \).
Для нахождения функции \( f \), удовлетворяющей условию \( f(x) + 2f(-x) = x + 1 \) при \( D(f) = \mathbb{R} \), подставим \( -x \) вместо \( x \): \( f(-x) + 2f(x) = -x + 1 \). Теперь решим систему уравнений. Выразим \( f(-x) \) из второго уравнения: \( f(-x) = 1 — x — 2f(x) \). Подставим это в первое уравнение: \( f(x) + 2(1 — x — 2f(x)) = x + 1 \), что упрощается до \( f(x) + 2 — 2x — 4f(x) = x + 1 \), или \( -3f(x) — 2x + 2 = x + 1 \), откуда \( -3f(x) = 3x — 1 \), следовательно, \( f(x) = \frac{1 — 3x}{3} \). Проверка подтверждает, что это решение верно. Ответ: \( f(x) = \frac{1 — 3x}{3} \).
1) Для решения задачи нам нужно найти функцию \( f \), такую, что область определения \( D(f) = \mathbb{R} \), и для любого \( x \in \mathbb{R} \) выполняется равенство \( f(x) + 2f(-x) = x + 1 \). Начнем с того, что рассмотрим это уравнение и попытаемся выразить \( f(x) \). Для этого полезно получить второе уравнение, подставив в исходное выражение значение \( -x \) вместо \( x \).
2) Подставим \( -x \) в уравнение: \( f(-x) + 2f(x) = -x + 1 \). Теперь у нас есть система из двух уравнений: первое — \( f(x) + 2f(-x) = x + 1 \), второе — \( f(-x) + 2f(x) = -x + 1 \). Мы можем выразить \( f(-x) \) из второго уравнения: \( f(-x) = 1 — x — 2f(x) \).
3) Подставим полученное выражение для \( f(-x) \) в первое уравнение: \( f(x) + 2(1 — x — 2f(x)) = x + 1 \). Раскроем скобки: \( f(x) + 2 — 2x — 4f(x) = x + 1 \). Сложим подобные слагаемые: \( -3f(x) — 2x + 2 = x + 1 \). Перенесем все члены, связанные с \( x \), в одну сторону: \( -3f(x) = x + 1 + 2x — 2 \), что дает \( -3f(x) = 3x — 1 \). Отсюда \( f(x) = \frac{1 — 3x}{3} \), или \( f(x) = \frac{1}{3} — x \).
4) Проверим полученное решение. Подставим \( f(x) = \frac{1}{3} — x \) и \( f(-x) = \frac{1}{3} + x \) в исходное уравнение: \( f(x) + 2f(-x) = \left(\frac{1}{3} — x\right) + 2\left(\frac{1}{3} + x\right) = \frac{1}{3} — x + \frac{2}{3} + 2x = 1 + x \), что совпадает с правой частью уравнения \( x + 1 \). Таким образом, проверка подтверждает правильность решения.
5) Ответ: функция \( f(x) = \frac{1}{3} — x \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.