Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.46 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Дана функция \( f(x) = x^2 + 2x \). Решите уравнение \( f(f(f(x))) = 0 \).
Дана функция \( f(x) = x^2 + 2x \). Преобразуем её: \( f(x) = x^2 + 2x = (x + 1)^2 — 1 \). Решаем уравнение \( f(f(f(x))) = 0 \). Сначала находим \( f(f(x)) \): \( f(x) = (x + 1)^2 — 1 \), тогда \( f(f(x)) = f((x + 1)^2 — 1) = (((x + 1)^2 — 1) + 1)^2 — 1 = (x + 1)^4 — 1 \). Далее \( f(f(f(x))) = f((x + 1)^4 — 1) = (((x + 1)^4 — 1) + 1)^2 — 1 = (x + 1)^8 — 1 \). Решаем \( (x + 1)^8 — 1 = 0 \), то есть \( (x + 1)^8 = 1 \). Корни: \( x + 1 = \pm 1 \), откуда \( x = 0 \) или \( x = -2 \). Ответ: \( x = 0, -2 \).
1. Дана функция \( f(x) = x^2 + 2x \). Преобразуем её для удобства решения. Заметим, что \( x^2 + 2x = x^2 + 2x + 1 — 1 = (x + 1)^2 — 1 \). Таким образом, функцию можно записать в виде \( f(x) = (x + 1)^2 — 1 \). Это преобразование поможет упростить вычисления при составлении композиции функций.
2. Теперь решим уравнение \( f(f(f(x))) = 0 \). Начнём с вычисления внутренней функции. Сначала найдём \( f(x) = (x + 1)^2 — 1 \). Затем подставим это выражение в функцию ещё раз, чтобы получить \( f(f(x)) \): \( f(f(x)) = f((x + 1)^2 — 1) = (((x + 1)^2 — 1) + 1)^2 — 1 = ((x + 1)^2)^2 — 1=\)
\( = (x + 1)^4 — 1 \). Далее вычислим \( f(f(f(x))) \): \( f(f(f(x))) = f((x + 1)^4 — 1) = (((x + 1)^4 — 1) + 1)^2 — 1 = ((x + 1)^4)^2 -\)
\(- 1 = (x + 1)^8 — 1 \). Таким образом, уравнение принимает вид \( (x + 1)^8 — 1 = 0 \), что эквивалентно \( (x + 1)^8 = 1 \).
3. Решим уравнение \( (x + 1)^8 = 1 \). Поскольку \( 1 \) можно представить как \( 1^8 \) или \( (-1)^8 \), то \( x + 1 = 1 \) или \( x + 1 = -1 \). Рассмотрим первый случай: если \( x + 1 = 1 \), то \( x = 0 \). Второй случай: если \( x + 1 = -1 \), то \( x = -2 \). Таким образом, получаем два возможных решения.
4. Проверим, что других решений нет. Так как степень 8 является чётной, то \( (x + 1)^8 \) всегда неотрицательно, и \( (x + 1)^8 = 1 \) имеет только два действительных корня, которые мы уже нашли: \( x + 1 = \pm 1 \). Следовательно, других решений уравнения нет.
5. Ответ: \( x = -2; 0 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.