Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.47 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Дана функция \( f(x) = x^2 + 10x + 20 \). Решите уравнение \( f(f(f(x))) = x \).
Дана функция \( f(x) = x^2 + 10x + 20 \). Преобразуем её: \( f(x) = (x+5)^2 — 5 \). Для решения уравнения \( f(f(f(x))) = x \) выполняем последовательные подстановки. Сначала \( f(f(f(x))) = f(f((x+5)^2 — 5)) = f(((x+5)^2 — 5 + 5)^2 — 5)=\)
\( = f((x+5)^4 — 5) = ((x+5)^4 — 5 + 5)^2 — 5 = (x+5)^8 — 5 \). Таким образом, уравнение принимает вид \( (x+5)^8 — 5 = x \), или \( (x+5)^8 — x — 5 = 0 \). Перепишем как \( (x+5)^8 — (x+5) + 1 — 1 = (x+5)((x+5)^7 — 1) = 0 \). Отсюда \( x+5 = 0 \) или \( (x+5)^7 = 1 \), что даёт \( x = -5 \) или \( x+5 = 1 \), то есть \( x = -4 \). Ответ: \( x = -5, -4 \).
1. Дана функция \( f(x) = x^2 + 10x + 20 \). Наша задача — преобразовать эту функцию к более удобному виду для дальнейших вычислений. Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена. Для этого добавим и вычтем число, которое позволит представить выражение в виде квадрата бинома. Имеем: \( x^2 + 10x + 20 = x^2 + 10x + 25 — 5 = (x+5)^2 — 5 \). Таким образом, функция принимает вид \( f(x) = (x+5)^2 — 5 \).
2. Теперь решим уравнение \( f(f(f(x))) = x \). Это означает, что нужно трижды применить функцию \( f \) к переменной \( x \) и приравнять результат к исходному \( x \). Начнём с внутренней функции: \( f(x) = (x+5)^2 — 5 \). Затем вычислим \( f(f(x)) \), подставляя результат первой функции: \( f(f(x)) = f((x+5)^2 — 5) = ((x+5)^2 — 5 + 5)^2 — 5 = (x+5)^4 — 5 \). Далее вычислим \( f(f(f(x))) \): \( f(f(f(x))) = f((x+5)^4 — 5) = ((x+5)^4 — 5 + 5)^2 — 5 = (x+5)^8 — 5 \). Таким образом, уравнение принимает вид \( (x+5)^8 — 5 = x \).
3. Приведём уравнение \( (x+5)^8 — 5 = x \) к виду, удобному для решения. Перенесём все члены в одну сторону: \( (x+5)^8 — x — 5 = 0 \). Чтобы упростить, заметим, что можно попытаться разложить выражение. Рассмотрим подстановку \( y = x + 5 \), тогда уравнение становится \( y^8 — (y — 5) — 5 = y^8 — y + 5 — 5 = y^8 — y = 0 \). Факторизуем: \( y(y^7 — 1) = 0 \). Это даёт два случая: \( y = 0 \) или \( y^7 = 1 \).
4. Решим полученные уравнения. Первый случай: \( y = 0 \), то есть \( x + 5 = 0 \), откуда \( x = -5 \). Второй случай: \( y^7 = 1 \). Поскольку \( y^7 = 1 \), то \( y = 1 \) (так как рассматриваем действительные корни). Тогда \( x + 5 = 1 \), откуда \( x = -4 \). Другие возможные корни \( y^7 = 1 \) в комплексной области нас не интересуют, так как ищем только действительные решения.
5. Итак, мы нашли два решения уравнения \( f(f(f(x))) = x \): \( x = -5 \) и \( x = -4 \). Ответ: \( -5; -4 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.