ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.49 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение \( |2x — 1| = x + 2 \).

Для решения уравнения \( |2x — 1| = x + 2 \) учитываем, что модуль раскрывается в зависимости от знака выражения внутри. Определяем точку, где \( 2x — 1 = 0 \), то есть \( x = \frac{1}{2} \).

1. Если \( x \geq \frac{1}{2} \), то \( |2x — 1| = 2x — 1 \). Уравнение становится \( 2x — 1 = x + 2 \), откуда \( x = 3 \). Проверяем: \( x = 3 \geq \frac{1}{2} \), условие выполнено.

2. Если \( x < \frac{1}{2} \), то \( |2x - 1| = -(2x - 1) = -2x + 1 \). Уравнение становится \( -2x + 1 = x + 2 \), откуда \( -3x = 1 \), то есть \( x = -\frac{1}{3} \). Проверяем: \( x = -\frac{1}{3} < \frac{1}{2} \), условие выполнено. Ответ: \( x = 3 \) и \( x = -\frac{1}{3} \).

Для решения уравнения \( |2x — 1| = x + 2 \) необходимо учитывать, что выражение под знаком модуля может быть как положительным, так и отрицательным. Мы разобьем решение на шаги, чтобы учесть оба случая, определяя точку, где выражение внутри модуля меняет знак.

1) Сначала найдем число, при котором выражение под знаком модуля равно нулю. Решаем уравнение \( 2x — 1 = 0 \). Отсюда \( 2x = 1 \), следовательно, \( x = \frac{1}{2} \). Это означает, что при \( x \geq \frac{1}{2} \) выражение \( 2x — 1 \geq 0 \), а при \( x < \frac{1}{2} \) выражение \( 2x - 1 < 0 \). 2) Рассмотрим первый случай, когда \( x \geq \frac{1}{2} \). В этом случае \( |2x - 1| = 2x - 1 \), так как выражение внутри модуля неотрицательно. Тогда уравнение принимает вид \( 2x - 1 = x + 2 \). Вычтем \( x \) из обеих частей: \( 2x - x - 1 = 2 \), то есть \( x - 1 = 2 \). Прибавим 1 к обеим частям: \( x = 3 \). Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное значение условию \( x \geq \frac{1}{2} \). Значение \( x = 3 \) больше \( \frac{1}{2} \), значит, это решение подходит для данного случая. 3) Теперь рассмотрим второй случай, когда \( x < \frac{1}{2} \). В этом случае \( |2x - 1| = -(2x - 1) = -2x + 1 \), так как выражение внутри модуля отрицательно. Тогда уравнение принимает вид \( -2x + 1 = x + 2 \). Прибавим \( 2x \) к обеим частям: \( 1 = 3x + 2 \). Вычтем 2 из обеих частей: \( 1 - 2 = 3x \), то есть \( -1 = 3x \). Разделим обе части на 3: \( x = -\frac{1}{3} \). Проверим, удовлетворяет ли это значение условию \( x < \frac{1}{2} \). Значение \( x = -\frac{1}{3} \) меньше \( \frac{1}{2} \), значит, это решение также подходит для данного случая. 4) Соберем все решения, полученные в обоих случаях. Мы нашли два значения: \( x = 3 \) и \( x = -\frac{1}{3} \). Оба значения удовлетворяют исходному уравнению при проверке. Подставим \( x = 3 \): левая часть \( |2 \cdot 3 - 1| = |6 - 1| = 5 \), правая часть \( 3 + 2 = 5 \), равенство выполнено. Подставим \( x = -\frac{1}{3} \): левая часть \( |2 \cdot (-\frac{1}{3}) - 1| = |-\frac{2}{3} - 1| = |-\frac{5}{3}| = \frac{5}{3} \), правая часть \( -\frac{1}{3} + 2 = -\frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{5}{3} \), равенство также выполнено. 5) Таким образом, уравнение \( |2x - 1| = x + 2 \) имеет два решения: \( x = 3 \) и \( x = -\frac{1}{3} \). Это полный набор решений, так как мы рассмотрели все возможные случаи для выражения под модулем.