ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции \( f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -3 < x < 1, \\ 9, & \text{если } x < -3, \\ x, & \text{если } x > 1, \\ -4, & \text{если } x < -2, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0. \end{cases} \)

Для построения графика функции \( f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -3 < x < 1, \\ 9, & \text{если } x < -3, \\ x, & \text{если } x > 1, \\ -4, & \text{если } x < -2, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0 \end{cases} \) необходимо рассмотреть каждую ветвь функции на заданных интервалах, учитывая пересечения условий.

1. Для \( x < -3 \): \( f(x) = 9 \), это горизонтальная линия \( y = 9 \).
2. Для \( x < -2 \): \( f(x) = -4 \), это горизонтальная линия \( y = -4 \), но поскольку интервал \( x < -2 \) пересекается с \( x < -3 \), приоритет нужно уточнить, обычно берется первое условие, то есть \( y = 9 \) для \( x < -3 \).
3. Для \( -3 < x < 1 \): \( f(x) = x^2 \), это парабола, открытая вверх, на участке от \( x = -3 \) до \( x = 1 \).
4. Для \( x > 1 \): \( f(x) = x \), это прямая линия с наклоном 1.
5. Для \( x > 0 \): \( f(x) = \sqrt{x} \), это кривая, начинающаяся с \( (0, 0) \), но поскольку \( x > 1 \) уже определено как \( f(x) = x \), нужно уточнить приоритет; обычно берется первое условие, то есть \( f(x) = x \) для \( x > 1 \).

Точки пересечения и границы интервалов проверяются отдельно: в точках \( x = -3 \), \( x = 1 \), \( x = 0 \) функция может быть не определена или иметь разрывы, поэтому на графике эти точки обозначаются как открытые (пустые кружки), если условие строгое.

График строится путем нанесения всех ветвей с учетом указанных интервалов и приоритетов условий.

Для построения графика функции \( f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -3 < x < 1, \\ 9, & \text{если } x < -3, \\ x, & \text{если } x \geq 1 \end{cases} \) (с учетом примера из изображения) рассмотрим каждую ветвь функции на заданных интервалах. Разберем задание пошагово, следуя условиям из примера.

1. Для интервала \( -3 < x < 1 \) функция задана как \( f(x) = x^2 \). Это уравнение параболы, открытой вверх. Вычислим несколько точек для построения графика. Если \( x = -3 \), то \( y = (-3)^2 = 9 \), но точка \( x = -3 \) не входит в интервал, поэтому она не включается. Если \( x = -2 \), то \( y = (-2)^2 = 4 \); если \( x = -1 \), то \( y = (-1)^2 = 1 \); если \( x = 0 \), то \( y = 0^2 = 0 \); если \( x = 1 \), то \( y = 1^2 = 1 \), но \( x = 1 \) также не входит в интервал. Таким образом, на участке \( -3 < x < 1 \) график представляет собой часть параболы от точки, близкой к \( (-3, 9) \), до точки, близкой к \( (1, 1) \), не включая сами эти точки.

2. Для интервала \( x < -3 \) функция задана как \( f(x) = 9 \). Это горизонтальная линия на уровне \( y = 9 \). График на всем участке \( x < -3 \) будет прямой линией, параллельной оси \( x \), на высоте \( y = 9 \). Например, при \( x = -4 \), \( y = 9 \); при \( x = -5 \), \( y = 9 \), и так далее.

3. Для интервала \( x \geq 1 \) функция задана как \( f(x) = x \). Это уравнение прямой линии с угловым коэффициентом 1. Вычислим несколько точек: если \( x = 1 \), то \( y = 1 \); если \( x = 2 \), то \( y = 2 \); если \( x = 3 \), то \( y = 3 \). Таким образом, начиная с точки \( (1, 1) \) и далее вправо, график представляет собой прямую линию, идущую вверх под углом 45 градусов.

4. Теперь объединим все части для построения полного графика функции. На участке \( x < -3 \) рисуем горизонтальную линию \( y = 9 \). На участке \( -3 < x < 1 \) рисуем параболу \( y = x^2 \), не включая конечные точки \( x = -3 \) и \( x = 1 \), что обозначается пустыми кружками на графике в этих точках. На участке \( x \geq 1 \) рисуем прямую \( y = x \), начиная с точки \( (1, 1) \), которая включается в график (обозначается заполненным кружком).

5. Для наглядности можно представить таблицу с ключевыми точками для каждой ветви функции:

6. Итоговый график функции состоит из трех частей: горизонтальной линии слева от \( x = -3 \), параболы между \( x = -3 \) и \( x = 1 \), и прямой линии справа от \( x = 1 \). Важно отметить разрывы в точках \( x = -3 \) и \( x = 1 \), где функция переключается между ветвями, и правильно обозначить включенные и невключенные точки на графике.

7. Таким образом, график функции построен с учетом всех условий и интервалов, а также с точным указанием поведения функции на границах интервалов.