ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.50 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график уравнения \( y — x^2 = x^2 — x \).

Для построения графика уравнения \( y — x^2 = x^2 — x \) преобразуем его к виду \( y = 2x^2 — x \). Это парабола, открытая вверх, с вершиной в точке \( x = \frac{1}{4} \), \( y = -\frac{1}{8} \), найденной по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \) (где \( a = 2 \), \( b = -1 \)). График проходит через точки \( (0, 0) \), \( (1, 1) \), \( (-1, 3) \), что подтверждается подстановкой значений \( x \).

1) Решение уравнения: для построения графика уравнения \( y — x^2 = x^2 — x \) преобразуем его, чтобы выразить \( y \) через \( x \). Сложим \( x^2 \) с обеих сторон уравнения, получаем \( y = 2x^2 — x \). Таким образом, функция, которую нужно построить, имеет вид \( y = 2x^2 — x \). Это квадратичная функция, график которой представляет собой параболу, открытую вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положительный (равен 2).

2) Выражение имеет смысл при: анализируем область определения функции. В данном случае функция \( y = 2x^2 — x \) определена для всех действительных чисел \( x \), так как это многочлен. Однако, если рассматривать исходное уравнение \( y — x^2 = x^2 — x \), то ограничений на \( x \) также нет, поскольку никаких делений или других операций, приводящих к неопределенности, в уравнении не присутствует. Таким образом, область определения: все \( x \).

3) График уравнения: для построения графика функции \( y = 2x^2 — x \) определим ключевые точки и характеристики параболы. Найдем вершину параболы по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 2 \), \( b = -1 \). Подставляем: \( x = -\frac{-1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} \). Теперь вычислим значение \( y \) в этой точке: \( y = 2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 — \frac{1}{4} = 2 \cdot \frac{1}{16} — \frac{1}{4} = \frac{2}{16} — \frac{4}{16} = -\frac{2}{16} = -\frac{1}{8} \). Таким образом, вершина параболы находится в точке \( \left(\frac{1}{4}, -\frac{1}{8}\right) \).

Далее вычислим несколько точек для построения графика. Возьмем значения \( x \) слева и справа от вершины:
— При \( x = 0 \): \( y = 2 \cdot 0^2 — 0 = 0 \), точка \( (0, 0) \).
— При \( x = 1 \): \( y = 2 \cdot 1^2 — 1 = 2 — 1 = 1 \), точка \( (1, 1) \).
— При \( x = -1 \): \( y = 2 \cdot (-1)^2 — (-1) = 2 + 1 = 3 \), точка \( (-1, 3) \).
— При \( x = 2 \): \( y = 2 \cdot 2^2 — 2 = 8 — 2 = 6 \), точка \( (2, 6) \).
— При \( x = -2 \): \( y = 2 \cdot (-2)^2 — (-2) = 8 + 2 = 10 \), точка \( (-2, 10) \).

Также отметим, что парабола симметрична относительно оси \( x = \frac{1}{4} \). Используя эти точки и учитывая, что парабола открыта вверх, можно построить график функции \( y = 2x^2 — x \), который совпадает с графиком, представленным в примере.