ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции \( y = \text{sgn}(x). \)

Для построения графика функции \( y = \text{sgn}(x) \), которая определяется как:

— \( y = -1 \), если \( x < 0 \),
— \( y = 0 \), если \( x = 0 \),
— \( y = 1 \), если \( x > 0 \),

нужно отметить, что график состоит из трех частей: горизонтальной линии \( y = -1 \) для всех \( x < 0 \), точки \( (0, 0) \), и горизонтальной линии \( y = 1 \) для всех \( x > 0 \). На графике это выглядит как разрыв в точке \( x = 0 \), где значение функции скачком меняется с \( -1 \) на \( 1 \).

1) Аналитическая запись функции:
Функция \( y = \text{sgn}(x) \) является знаковой функцией, которая принимает значения в зависимости от знака аргумента \( x \). Ее можно записать следующим образом:
— \( y = -1 \), если \( x < 0 \),
— \( y = 0 \), если \( x = 0 \),
— \( y = 1 \), если \( x > 0 \).
Это определение показывает, что функция возвращает знак числа \( x \), а при \( x = 0 \) значение функции равно нулю.

2) График функции:
Для построения графика функции \( y = \text{sgn}(x) \) необходимо рассмотреть все три случая, указанные в аналитической записи. Сначала для всех значений \( x < 0 \) функция принимает значение \( y = -1 \). Это означает, что в левой полуплоскости график представляет собой горизонтальную прямую линию на уровне \( y = -1 \). Далее, в точке \( x = 0 \) значение функции равно \( y = 0 \), что дает нам точку \( (0, 0) \) на координатной плоскости. Наконец, для всех значений \( x > 0 \) функция принимает значение \( y = 1 \), что соответствует горизонтальной прямой линии на уровне \( y = 1 \) в правой полуплоскости.

Таким образом, график функции состоит из двух горизонтальных лучей и одной точки: левого луча на уровне \( y = -1 \) (для \( x < 0 \)), точки \( (0, 0) \) и правого луча на уровне \( y = 1 \) (для \( x > 0 \)). Важно отметить, что в точке \( x = 0 \) происходит разрыв функции, так как значения слева и справа от этой точки различны, а сама функция определена как \( y = 0 \). Для наглядности график можно изобразить на координатной плоскости, где по оси \( x \) откладываются значения аргумента, а по оси \( y \) — соответствующие значения функции, с учетом указанных уровней и разрыва.