ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \( f(x) = \frac{4x — 3}{x} \)

2) \( f(x) = \sqrt{x — 4} + \frac{1}{|x| — 7} \)

1) Для функции \( f(x) = \frac{4x — 3}{x} \) область определения определяется условием, что знаменатель не равен нулю. Таким образом, \( x \neq 0 \). Ответ: \( D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).

2) Для функции \( f(x) = \sqrt{x — 4} + \frac{1}{|x| — 7} \) нужно учесть два условия. Первое: \( x — 4 \geq 0 \), то есть \( x \geq 4 \). Второе: \( |x| — 7 \neq 0 \), то есть \( |x| \neq 7 \), что означает \( x \neq 7 \) и \( x \neq -7 \). Учитывая \( x \geq 4 \), условие \( x \neq -7 \) выполняется автоматически. Ответ: \( D(f) = [4; 7) \cup (7; +\infty) \).

1) Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{4x — 3}{x} \). Чтобы найти область определения этой функции, необходимо определить значения \( x \), при которых выражение имеет смысл. Поскольку это дробь, главное условие заключается в том, что знаменатель не должен быть равен нулю.

Знаменатель функции равен \( x \), следовательно, \( x \neq 0 \). Это означает, что функция не определена в точке \( x = 0 \). Других ограничений на \( x \) нет, так как числитель \( 4x — 3 \) определен для всех действительных чисел.

Таким образом, область определения функции \( f(x) = \frac{4x — 3}{x} \) состоит из всех действительных чисел, кроме \( x = 0 \). Запишем это в виде интервалов: \( D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).

2) Теперь рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{x — 4} + \frac{1}{|x| — 7} \). Для нахождения области определения необходимо учесть ограничения, накладываемые каждым слагаемым в выражении.

Первое слагаемое — \( \sqrt{x — 4} \). Корень квадратный определен только для неотрицательных чисел, поэтому подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю: \( x — 4 \geq 0 \). Решая это неравенство, получаем \( x \geq 4 \).

Второе слагаемое — \( \frac{1}{|x| — 7} \). Это дробь, и для ее определения знаменатель не должен быть равен нулю. Таким образом, \( |x| — 7 \neq 0 \), что эквивалентно \( |x| \neq 7 \). Решая уравнение \( |x| = 7 \), получаем два значения: \( x = 7 \) и \( x = -7 \). Следовательно, функция не определена в точках \( x = 7 \) и \( x = -7 \).

Теперь объединим все условия. Из первого условия у нас \( x \geq 4 \), а из второго — \( x \neq 7 \) и \( x \neq -7 \). Поскольку \( x \geq 4 \), значение \( x = -7 \) уже исключено, и нам нужно учитывать только \( x \neq 7 \). Таким образом, область определения состоит из всех \( x \geq 4 \), кроме \( x = 7 \).

Запишем область определения в виде интервалов: \( D(f) = [4; 7) \cup (7; +\infty) \).