ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:
1) \(f(x)=\frac{x}{|x|-7}\);
2) \(f(x)=\frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x+2}}+\frac{4x-3}{x^{2}-7x+6}\).

1) Рассмотрим \(f(x)=\frac{x}{|x|-7}\). Требования: знаменатель не равен нулю, то есть \(|x|-7\neq 0\Rightarrow |x|\neq 7\Rightarrow x\neq \pm 7\). Других ограничений нет. Итог: \(D(f)=(-\infty,-7)\cup(-7,7)\cup(7,+\infty)\).

2) Рассмотрим \(f(x)=\frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x+2}}+\frac{4x-3}{x^{2}-7x+6}\). Условия радикалов: \(x-4\ge 0\Rightarrow x\ge 4\); \(x+2>0\Rightarrow x>-2\). Совместно получаем \(x\ge 4\). Условие знаменателя: \(x^{2}-7x+6=(x-1)(x-6)\neq 0\Rightarrow x\neq 1,6\). При \(x\ge 4\) исключаем только \(x=6\). Итог: \(D(f)=[4,6)\cup(6,+\infty)\).

1) Рассмотрим функцию \(f(x)=\frac{x}{|x|-7}\). Для корректности выражения требуется, чтобы знаменатель не обращался в ноль: \(|x|-7\neq 0\). Это условие эквивалентно требованию \(|x|\neq 7\), то есть аргумент \(x\) не должен равняться числам, для которых модуль равен \(7\). Поскольку \(|x|=7\) достигается только при \(x=7\) и \(x=-7\), получаем запрет \(x\neq 7\) и \(x\neq -7\). Числитель \(x\) не накладывает дополнительных ограничений: при \(x=0\) функция равна нулю и определена, а при любых других \(x\) кроме запрещённых значение корректно вычисляется. Следовательно, область определения состоит из всех вещественных чисел, кроме двух точек, где знаменатель равен нулю.

Итак, исключив точки разрыва, получаем объединение трёх интервалов, разделённых этими значениями: слева от \(-7\), между \(-7\) и \(7\), и справа от \(7\). Формально это записывается как \(D(f)=(-\infty,-7)\cup(-7,7)\cup(7,+\infty)\). Проверка граничных точек показывает, что при \(x=\pm 7\) знаменатель равен нулю, потому точки \(-7\) и \(7\) не включаются, а на всех остальных значениях выражение определено.

2) Рассмотрим функцию \(f(x)=\frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x+2}}+\frac{4x-3}{x^{2}-7x+6}\). Первое требование связано с наличием корней: подкоренные выражения должны быть неотрицательными там, где корень квадратный стоит в числителе, и положительными там, где корень квадратный стоит в знаменателе. Для числителя \(\sqrt{x-4}\) необходимо \(x-4\ge 0\), то есть \(x\ge 4\). Для знаменателя \(\sqrt{x+2}\) необходимо \(x+2>0\), то есть \(x>-2\). Совместив эти два условия, получаем более жёсткое ограничение \(x\ge 4\), так как оно автоматически удовлетворяет \(x>-2\). Таким образом, область допустимых значений на данный момент — все \(x\) начиная с \(4\) включительно.

Далее учитываем рациональную часть \(\frac{4x-3}{x^{2}-7x+6}\). Здесь требуется, чтобы знаменатель \(x^{2}-7x+6\) был ненулевым. Разложим квадратный трёхчлен на множители: \(x^{2}-7x+6=(x-1)(x-6)\). Тогда условие \(x^{2}-7x+6\neq 0\) даёт запреты \(x\neq 1\) и \(x\neq 6\). Так как ранее мы уже ограничили \(x\ge 4\), значение \(x=1\) всё равно не попадает в допустимую область, но точка \(x=6\) лежит внутри отрезка \([4,+\infty)\) и должна быть исключена, потому что при \(x=6\) знаменатель рационального дробного выражения становится нулём. В итоге из множества \([4,+\infty)\) исключаем точку \(6\), получая два промежутка: от \(4\) до \(6\) без включения \(6\), и от \(6\) до \(+\infty\) без включения \(6\).

Окончательно область определения второй функции записывается как \(D(f)=[4,6)\cup(6,+\infty)\). Проверка граничных точек подтверждает: при \(x=4\) числитель \(\sqrt{x-4}\) равен нулю, что допустимо; при \(x\to 6\) возникает нуль в знаменателе рациональной дроби, поэтому точка \(6\) исключается; при любых \(x>6\) и \(x\in[4,6)\) одновременно выполняются условия на корни и ненулевой знаменатель.