ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \( f(x) = \sqrt{x + 4} + \frac{1}{\sqrt{-x + 1}} \)

2) \( f(x) = \sqrt{8 — x} + \frac{4}{x^2 — 8x} \)

1) Для функции \( f(x) = \sqrt{x + 4} + \frac{1}{\sqrt{-x + 1}} \) область определения определяется условиями подкоренных выражений и знаменателя. Первое условие: \( x + 4 \geq 0 \), то есть \( x \geq -4 \). Второе условие: \( -x + 1 > 0 \), то есть \( x < 1 \). Объединяя, получаем \( x \in [-4, 1) \). Ответ: \( D(f) = [-4, 1) \).

2) Для функции \( f(x) = \sqrt{8 — x} + \frac{4}{x^2 — 8x} \) первое условие: \( 8 — x \geq 0 \), то есть \( x \leq 8 \). Второе условие: \( x^2 — 8x \neq 0 \), то есть \( x(x — 8) \neq 0 \), откуда \( x \neq 0 \) и \( x \neq 8 \). Объединяя, получаем \( x \in (-\infty, 0) \cup (0, 8) \). Ответ: \( D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, 8) \).

1) Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{x + 4} + \frac{1}{\sqrt{-x + 1}} \). Чтобы найти область определения, нужно определить, при каких значениях \( x \) функция имеет смысл. Область определения — это множество всех \( x \), при которых выражения под корнем неотрицательны, а знаменатели не равны нулю.

Сначала разберем первое выражение под корнем: \( x + 4 \). Для того чтобы корень был определен, нужно, чтобы \( x + 4 \geq 0 \). Решаем это неравенство: \( x \geq -4 \). Значит, \( x \) должен быть не меньше \(-4\).

Теперь рассмотрим второе выражение: \( \sqrt{-x + 1} \), которое находится в знаменателе. Поскольку это корень, нужно, чтобы \( -x + 1 \geq 0 \). Решаем неравенство: \( -x \geq -1 \), умножаем на \(-1\) (при этом знак неравенства меняется): \( x \leq 1 \). Но также знаменатель не может быть равен нулю, то есть \( \sqrt{-x + 1} \neq 0 \), откуда \( -x + 1 \neq 0 \), значит \( x \neq 1 \). Таким образом, \( x < 1 \).

Объединяем полученные условия: \( x \geq -4 \) и \( x < 1 \). Это означает, что \( x \) принадлежит интервалу от \(-4\) до \(1\), включая \(-4\), но не включая \(1\). Итоговая область определения: \( D(f) = [-4, 1) \).

2) Теперь рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{8 — x} + \frac{4}{x^2 — 8x} \). Снова ищем область определения, то есть значения \( x \), при которых функция имеет смысл.

Первое условие связано с корнем: \( 8 — x \geq 0 \). Решаем неравенство: \( -x \geq -8 \), умножаем на \(-1\) (знак меняется): \( x \leq 8 \). Значит, \( x \) должен быть меньше или равен \(8\).

Второе условие связано со знаменателем: \( x^2 — 8x \neq 0 \). Раскладываем выражение на множители: \( x(x — 8) \neq 0 \). Это означает, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq 8 \). То есть \( x \) не может принимать значения \(0\) и \(8\).

Теперь объединяем условия: \( x \leq 8 \), но \( x \neq 0 \) и \( x \neq 8 \). Таким образом, \( x \) может быть любым числом меньше \(8\), кроме \(0\) и самого \(8\). Это записывается как объединение интервалов: от минус бесконечности до \(0\) (не включая \(0\)) и от \(0\) до \(8\) (не включая \(8\)). Итоговая область определения: \( D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, 8) \).